Номер 317, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

317. Найдите координаты вершины $E$ равностороннего треугольника $DEF$, если $D(-6; 0)$ и $F(2; 0)$.

Поскольку треугольник $DEF$ является равносторонним, все его стороны равны, то есть $DE = EF = DF$. Найдем длину стороны $DF$, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Для точек $D(-6; 0)$ и $F(2; 0)$ расстояние $DF$ равно:
$DF = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.
Следовательно, длина каждой стороны треугольника равна 8.

Пусть координаты вершины $E$ будут $(x_E, y_E)$. Так как точка $E$ равноудалена от точек $D$ и $F$, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $DF$. Поскольку отрезок $DF$ лежит на оси $Ox$, серединный перпендикуляр будет вертикальной прямой. Абсцисса этой прямой равна абсциссе середины отрезка $DF$:
$x_E = \frac{x_D + x_F}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Теперь, зная $x_E$, мы можем найти $y_E$, используя тот факт, что расстояние $DE$ (или $EF$) равно 8. Воспользуемся формулой для квадрата расстояния $DE^2 = 8^2 = 64$:
$DE^2 = (x_E - x_D)^2 + (y_E - y_D)^2 = 64$
$(-2 - (-6))^2 + (y_E - 0)^2 = 64$
$(-2 + 6)^2 + y_E^2 = 64$
$4^2 + y_E^2 = 64$
$16 + y_E^2 = 64$
$y_E^2 = 64 - 16$
$y_E^2 = 48$
$y_E = \pm\sqrt{48} = \pm\sqrt{16 \cdot 3} = \pm4\sqrt{3}$.

Таким образом, существуют две возможные точки для вершины $E$, симметричные относительно оси абсцисс.
Ответ: $(-2; 4\sqrt{3})$ или $(-2; -4\sqrt{3})$.