Номер 311, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

311. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2; 8)$, $B(3; -3)$, $C(6; 2)$ и $D(1; 13)$ является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ с заданными вершинами является параллелограммом, можно использовать одно из свойств параллелограмма в координатной геометрии. Рассмотрим два наиболее распространенных способа.

Способ 1: Проверка равенства векторов противоположных сторон

Четырехугольник является параллелограммом, если вектор одной его стороны равен вектору противоположной стороны. Это условие гарантирует, что эти стороны параллельны и равны по длине. Проверим, выполняется ли равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Координаты вершин: $A(-2; 8)$, $B(3; -3)$, $C(6; 2)$ и $D(1; 13)$.

Координаты вектора находятся по формуле: $\vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (3 - (-2); -3 - 8) = (5; -11)$

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (6 - 1; 2 - 13) = (5; -11)$

Так как координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ совпадают, то $\vec{AB} = \vec{DC}$. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Способ 2: Проверка совпадения середин диагоналей

Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей $AC$ и $BD$ должны совпадать.

Координаты середины отрезка находятся по формуле: $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.

Найдем координаты середины диагонали $AC$:

$M_{AC} = (\frac{-2 + 6}{2}; \frac{8 + 2}{2}) = (\frac{4}{2}; \frac{10}{2}) = (2; 5)$

Найдем координаты середины диагонали $BD$:

$M_{BD} = (\frac{3 + 1}{2}; \frac{-3 + 13}{2}) = (\frac{4}{2}; \frac{10}{2}) = (2; 5)$

Поскольку координаты середин диагоналей $AC$ и $BD$ совпадают $(2; 5)$, диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано: четырехугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2; 8)$, $B(3; -3)$, $C(6; 2)$ и $D(1; 13)$ является параллелограммом.