Номер 304, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

304. Докажите, что точки $M(-4; 5)$, $N(-10; 7)$ и $K(8; 1)$ лежат на одной прямой, и укажите, какая из них лежит между двумя другими.

Для решения задачи воспользуемся методом анализа расстояний между точками. Три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда расстояние между двумя крайними точками равно сумме расстояний от них до средней точки. Этот метод также позволит однозначно определить, какая из точек является средней.

Вычислим расстояния между всеми парами точек M(-4; 5), N(-10; 7) и K(8; 1) по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

• Расстояние между M и N:

  $MN = \sqrt{(-10 - (-4))^2 + (7 - 5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

• Расстояние между M и K:

  $MK = \sqrt{(8 - (-4))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(12)^2 + (-4)^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$.

• Расстояние между N и K:

  $NK = \sqrt{(8 - (-10))^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{(18)^2 + (-6)^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$.

Докажите, что точки лежат на одной прямой

Теперь проверим выполнение условия коллинеарности. Сравним сумму длин двух отрезков с длиной третьего. Наибольшую длину имеет отрезок NK.

Найдем сумму длин двух других отрезков:

$MN + MK = 2\sqrt{10} + 4\sqrt{10} = 6\sqrt{10}$.

Сравним полученную сумму с длиной отрезка NK: $6\sqrt{10} = 6\sqrt{10}$.

Так как равенство $MN + MK = NK$ выполняется, то точки M, N, и K лежат на одной прямой.

Ответ: Точки M, N, K лежат на одной прямой, так как сумма длин отрезков MN и MK равна длине отрезка NK.

укажите, какая из них лежит между двумя другими

Равенство $MN + MK = NK$ означает, что отрезки MN и MK являются частями одного большого отрезка NK, а точка M — их общая точка. Следовательно, точка M лежит на отрезке NK, то есть между точками N и K.

Ответ: Между точками N и K лежит точка M.