Номер 303, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

303. Лежат ли на одной прямой точки:

1) $A (-2; -7), B (-1; -4)$ и $C (5; 14);$

2) $D (-1; 3), E (2; 13)$ и $F (5; 21)?$

В случае утвердительного ответа укажите, какая из точек лежит между двумя другими.

Чтобы определить, лежат ли три точки на одной прямой, можно воспользоваться одним из следующих способов:
1. Проверить, равены ли угловые коэффициенты отрезков, образованных этими точками. Если точки $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$ лежат на одной прямой, то угловой коэффициент отрезка $AB$ должен быть равен угловому коэффициенту отрезка $BC$. Угловой коэффициент $k$ вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Таким образом, должно выполняться равенство $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}$.
2. Проверить выполнение правила сложения отрезков. Три точки лежат на одной прямой, если расстояние между двумя крайними точками равно сумме расстояний от них до средней точки. Например, если точка B лежит между A и C, то должно выполняться равенство $AC = AB + BC$. Расстояние между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Воспользуемся первым способом, так как он проще в вычислениях.

Проверим, лежат ли на одной прямой точки $A(-2; -7)$, $B(-1; -4)$ и $C(5; 14)$.

Найдем угловой коэффициент отрезка $AB$:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-4 - (-7)}{-1 - (-2)} = \frac{-4 + 7}{-1 + 2} = \frac{3}{1} = 3$.

Найдем угловой коэффициент отрезка $BC$:
$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{14 - (-4)}{5 - (-1)} = \frac{14 + 4}{5 + 1} = \frac{18}{6} = 3$.

Так как $k_{AB} = k_{BC} = 3$, точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

Теперь определим, какая из точек лежит между двумя другими. Для этого сравним их координаты.
Координаты по оси $x$: $x_A = -2$, $x_B = -1$, $x_C = 5$. Видим, что $-2 < -1 < 5$, то есть $x_A < x_B < x_C$.
Координаты по оси $y$: $y_A = -7$, $y_B = -4$, $y_C = 14$. Видим, что $-7 < -4 < 14$, то есть $y_A < y_B < y_C$.

Поскольку обе координаты точки $B$ находятся между соответствующими координатами точек $A$ и $C$, точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$.
Ответ: да, лежат. Точка B лежит между точками A и C.

Проверим, лежат ли на одной прямой точки $D(-1; 3)$, $E(2; 13)$ и $F(5; 21)$.

Найдем угловой коэффициент отрезка $DE$:
$k_{DE} = \frac{y_E - y_D}{x_E - x_D} = \frac{13 - 3}{2 - (-1)} = \frac{10}{2 + 1} = \frac{10}{3}$.

Найдем угловой коэффициент отрезка $EF$:
$k_{EF} = \frac{y_F - y_E}{x_F - x_E} = \frac{21 - 13}{5 - 2} = \frac{8}{3}$.

Сравним угловые коэффициенты: $k_{DE} = \frac{10}{3}$ и $k_{EF} = \frac{8}{3}$.
Поскольку $k_{DE} \neq k_{EF}$, точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой.
Ответ: нет, не лежат.