Номер 302, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

302. Точки $A (-1; 2)$ и $B (7; 4)$ являются вершинами прямоугольного треугольника. Может ли третья вершина треугольника иметь координаты:

1) $(7; 2)$;

2) $(2; -3)$?

Для того чтобы определить, может ли третья вершина образовывать с точками $A(-1; 2)$ и $B(7; 4)$ прямоугольный треугольник, мы воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Треугольник является прямоугольным, если квадрат одной из его сторон равен сумме квадратов двух других сторон.

Сначала найдем квадрат длины стороны $AB$ по формуле квадрата расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

$AB^2 = (7 - (-1))^2 + (4 - 2)^2 = (7 + 1)^2 + 2^2 = 8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68$.

1)

Пусть третья вершина — это точка $C$ с координатами $(7; 2)$. Найдем квадраты длин сторон $AC$ и $BC$.

$AC^2 = (7 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 = (7 + 1)^2 + 0^2 = 8^2 = 64$.

$BC^2 = (7 - 7)^2 + (2 - 4)^2 = 0^2 + (-2)^2 = 4$.

Теперь проверим, выполняется ли равенство $a^2 + b^2 = c^2$ для сторон нашего треугольника:

$AC^2 + BC^2 = 64 + 4 = 68$.

Мы видим, что $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Так как условие теоремы, обратной теореме Пифагора, выполняется, то треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Следовательно, точка $C(7; 2)$ может быть третьей вершиной.

Ответ: да, может.

2)

Пусть третья вершина — это точка $C$ с координатами $(2; -3)$. Найдем квадраты длин сторон $AC$ и $BC$.

$AC^2 = (2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2 = (2 + 1)^2 + (-5)^2 = 3^2 + 25 = 9 + 25 = 34$.

$BC^2 = (2 - 7)^2 + (-3 - 4)^2 = (-5)^2 + (-7)^2 = 25 + 49 = 74$.

Проверим выполнение теоремы Пифагора для всех возможных комбинаций сторон:

$AB^2 + AC^2 = 68 + 34 = 102 \ne BC^2$ (где $BC^2 = 74$).

$AB^2 + BC^2 = 68 + 74 = 142 \ne AC^2$ (где $AC^2 = 34$).

$AC^2 + BC^2 = 34 + 74 = 108 \ne AB^2$ (где $AB^2 = 68$).

Ни одно из равенств не выполняется. Следовательно, треугольник с вершинами в точках $A$, $B$ и $C(2; -3)$ не является прямоугольным.

Ответ: нет, не может.