Номер 309, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

309. Четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм, $A (-5; 1)$, $B (-4; 4)$, $C (-1; 5)$. Найдите координаты вершины $D$.

Для нахождения координат вершины $D$ параллелограмма $ABCD$ воспользуемся одним из его свойств: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Пусть искомые координаты вершины $D$ равны $(x_D; y_D)$.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам: $x_M = \frac{x_1+x_2}{2}$ и $y_M = \frac{y_1+y_2}{2}$.

1. Найдём координаты середины диагонали $AC$, используя координаты точек $A(-5; 1)$ и $C(-1; 5)$:
$x_{AC} = \frac{-5 + (-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$y_{AC} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, точка пересечения диагоналей имеет координаты $(-3; 3)$.

2. Эта же точка является серединой диагонали $BD$. Запишем выражения для координат середины диагонали $BD$, используя координаты точек $B(-4; 4)$ и $D(x_D; y_D)$:
$x_{BD} = \frac{-4 + x_D}{2}$
$y_{BD} = \frac{4 + y_D}{2}$

3. Так как середины диагоналей совпадают, мы можем приравнять их соответствующие координаты и решить полученные уравнения:
$x_{AC} = x_{BD} \implies -3 = \frac{-4 + x_D}{2}$
$-6 = -4 + x_D$
$x_D = -6 + 4 = -2$

$y_{AC} = y_{BD} \implies 3 = \frac{4 + y_D}{2}$
$6 = 4 + y_D$
$y_D = 6 - 4 = 2$

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(-2; 2)$.

Ответ: $D(-2; 2)$.