Страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

301. Докажите, что треугольник с вершинами в точках $A (2; 7)$, $B (-1; 4)$, $C (1; 2)$ является прямоугольным.

Для доказательства того, что треугольник с вершинами в точках A(2; 7), B(-1; 4) и C(1; 2) является прямоугольным, воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Она гласит, что если квадрат длины одной стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным.

Сначала вычислим квадраты длин каждой из сторон треугольника ABC. Квадрат расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находится по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1. Найдем квадрат длины стороны AB:

$AB^2 = (-1 - 2)^2 + (4 - 7)^2 = (-3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18$.

2. Найдем квадрат длины стороны BC:

$BC^2 = (1 - (-1))^2 + (2 - 4)^2 = (1 + 1)^2 + (-2)^2 = 2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$.

3. Найдем квадрат длины стороны AC:

$AC^2 = (1 - 2)^2 + (2 - 7)^2 = (-1)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26$.

Теперь проверим, выполняется ли для полученных длин сторон равенство $a^2 + b^2 = c^2$. Наибольший из полученных квадратов длин — это $AC^2 = 26$. Проверим, равна ли эта величина сумме двух других квадратов:

$AB^2 + BC^2 = 18 + 8 = 26$.

Так как $AB^2 + BC^2 = 26$ и $AC^2 = 26$, то равенство $AB^2 + BC^2 = AC^2$ выполняется.

Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ABC является прямоугольным. Прямой угол — это угол B, так как он лежит напротив самой длинной стороны (гипотенузы) AC.

Ответ: Треугольник с заданными вершинами является прямоугольным, что и требовалось доказать.

302. Точки $A (-1; 2)$ и $B (7; 4)$ являются вершинами прямоугольного треугольника. Может ли третья вершина треугольника иметь координаты:

1) $(7; 2)$;

2) $(2; -3)$?

Для того чтобы определить, может ли третья вершина образовывать с точками $A(-1; 2)$ и $B(7; 4)$ прямоугольный треугольник, мы воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Треугольник является прямоугольным, если квадрат одной из его сторон равен сумме квадратов двух других сторон.

Сначала найдем квадрат длины стороны $AB$ по формуле квадрата расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

$AB^2 = (7 - (-1))^2 + (4 - 2)^2 = (7 + 1)^2 + 2^2 = 8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68$.

1)

Пусть третья вершина — это точка $C$ с координатами $(7; 2)$. Найдем квадраты длин сторон $AC$ и $BC$.

$AC^2 = (7 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 = (7 + 1)^2 + 0^2 = 8^2 = 64$.

$BC^2 = (7 - 7)^2 + (2 - 4)^2 = 0^2 + (-2)^2 = 4$.

Теперь проверим, выполняется ли равенство $a^2 + b^2 = c^2$ для сторон нашего треугольника:

$AC^2 + BC^2 = 64 + 4 = 68$.

Мы видим, что $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Так как условие теоремы, обратной теореме Пифагора, выполняется, то треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Следовательно, точка $C(7; 2)$ может быть третьей вершиной.

Ответ: да, может.

2)

Пусть третья вершина — это точка $C$ с координатами $(2; -3)$. Найдем квадраты длин сторон $AC$ и $BC$.

$AC^2 = (2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2 = (2 + 1)^2 + (-5)^2 = 3^2 + 25 = 9 + 25 = 34$.

$BC^2 = (2 - 7)^2 + (-3 - 4)^2 = (-5)^2 + (-7)^2 = 25 + 49 = 74$.

Проверим выполнение теоремы Пифагора для всех возможных комбинаций сторон:

$AB^2 + AC^2 = 68 + 34 = 102 \ne BC^2$ (где $BC^2 = 74$).

$AB^2 + BC^2 = 68 + 74 = 142 \ne AC^2$ (где $AC^2 = 34$).

$AC^2 + BC^2 = 34 + 74 = 108 \ne AB^2$ (где $AB^2 = 68$).

Ни одно из равенств не выполняется. Следовательно, треугольник с вершинами в точках $A$, $B$ и $C(2; -3)$ не является прямоугольным.

Ответ: нет, не может.

303. Лежат ли на одной прямой точки:

1) $A (-2; -7), B (-1; -4)$ и $C (5; 14);$

2) $D (-1; 3), E (2; 13)$ и $F (5; 21)?$

В случае утвердительного ответа укажите, какая из точек лежит между двумя другими.

Чтобы определить, лежат ли три точки на одной прямой, можно воспользоваться одним из следующих способов:
1. Проверить, равены ли угловые коэффициенты отрезков, образованных этими точками. Если точки $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$ лежат на одной прямой, то угловой коэффициент отрезка $AB$ должен быть равен угловому коэффициенту отрезка $BC$. Угловой коэффициент $k$ вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Таким образом, должно выполняться равенство $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}$.
2. Проверить выполнение правила сложения отрезков. Три точки лежат на одной прямой, если расстояние между двумя крайними точками равно сумме расстояний от них до средней точки. Например, если точка B лежит между A и C, то должно выполняться равенство $AC = AB + BC$. Расстояние между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Воспользуемся первым способом, так как он проще в вычислениях.

Проверим, лежат ли на одной прямой точки $A(-2; -7)$, $B(-1; -4)$ и $C(5; 14)$.

Найдем угловой коэффициент отрезка $AB$:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-4 - (-7)}{-1 - (-2)} = \frac{-4 + 7}{-1 + 2} = \frac{3}{1} = 3$.

Найдем угловой коэффициент отрезка $BC$:
$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{14 - (-4)}{5 - (-1)} = \frac{14 + 4}{5 + 1} = \frac{18}{6} = 3$.

Так как $k_{AB} = k_{BC} = 3$, точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

Теперь определим, какая из точек лежит между двумя другими. Для этого сравним их координаты.
Координаты по оси $x$: $x_A = -2$, $x_B = -1$, $x_C = 5$. Видим, что $-2 < -1 < 5$, то есть $x_A < x_B < x_C$.
Координаты по оси $y$: $y_A = -7$, $y_B = -4$, $y_C = 14$. Видим, что $-7 < -4 < 14$, то есть $y_A < y_B < y_C$.

Поскольку обе координаты точки $B$ находятся между соответствующими координатами точек $A$ и $C$, точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$.
Ответ: да, лежат. Точка B лежит между точками A и C.

Проверим, лежат ли на одной прямой точки $D(-1; 3)$, $E(2; 13)$ и $F(5; 21)$.

Найдем угловой коэффициент отрезка $DE$:
$k_{DE} = \frac{y_E - y_D}{x_E - x_D} = \frac{13 - 3}{2 - (-1)} = \frac{10}{2 + 1} = \frac{10}{3}$.

Найдем угловой коэффициент отрезка $EF$:
$k_{EF} = \frac{y_F - y_E}{x_F - x_E} = \frac{21 - 13}{5 - 2} = \frac{8}{3}$.

Сравним угловые коэффициенты: $k_{DE} = \frac{10}{3}$ и $k_{EF} = \frac{8}{3}$.
Поскольку $k_{DE} \neq k_{EF}$, точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой.
Ответ: нет, не лежат.

304. Докажите, что точки $M(-4; 5)$, $N(-10; 7)$ и $K(8; 1)$ лежат на одной прямой, и укажите, какая из них лежит между двумя другими.

Для решения задачи воспользуемся методом анализа расстояний между точками. Три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда расстояние между двумя крайними точками равно сумме расстояний от них до средней точки. Этот метод также позволит однозначно определить, какая из точек является средней.

Вычислим расстояния между всеми парами точек M(-4; 5), N(-10; 7) и K(8; 1) по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

• Расстояние между M и N:

  $MN = \sqrt{(-10 - (-4))^2 + (7 - 5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

• Расстояние между M и K:

  $MK = \sqrt{(8 - (-4))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(12)^2 + (-4)^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$.

• Расстояние между N и K:

  $NK = \sqrt{(8 - (-10))^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{(18)^2 + (-6)^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$.

Докажите, что точки лежат на одной прямой

Теперь проверим выполнение условия коллинеарности. Сравним сумму длин двух отрезков с длиной третьего. Наибольшую длину имеет отрезок NK.

Найдем сумму длин двух других отрезков:

$MN + MK = 2\sqrt{10} + 4\sqrt{10} = 6\sqrt{10}$.

Сравним полученную сумму с длиной отрезка NK: $6\sqrt{10} = 6\sqrt{10}$.

Так как равенство $MN + MK = NK$ выполняется, то точки M, N, и K лежат на одной прямой.

Ответ: Точки M, N, K лежат на одной прямой, так как сумма длин отрезков MN и MK равна длине отрезка NK.

укажите, какая из них лежит между двумя другими

Равенство $MN + MK = NK$ означает, что отрезки MN и MK являются частями одного большого отрезка NK, а точка M — их общая точка. Следовательно, точка M лежит на отрезке NK, то есть между точками N и K.

Ответ: Между точками N и K лежит точка M.

305. При каком значении $x$ расстояние между точками $C(3; 2)$ и $D(x; -1)$ равно $5$?

Для решения задачи воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости. Расстояние $d$ между точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

В нашем случае даны точки $C(3; 2)$ и $D(x; -1)$, и по условию расстояние между ними $d = 5$. Подставим эти значения в формулу:

$5 = \sqrt{(x - 3)^2 + (-1 - 2)^2}$

Упростим выражение под корнем:

$5 = \sqrt{(x - 3)^2 + (-3)^2}$

$5 = \sqrt{(x - 3)^2 + 9}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$5^2 = (\sqrt{(x - 3)^2 + 9})^2$

$25 = (x - 3)^2 + 9$

Теперь выразим $(x - 3)^2$:

$(x - 3)^2 = 25 - 9$

$(x - 3)^2 = 16$

Это уравнение имеет два возможных решения, так как извлекая квадратный корень, мы получаем положительное и отрицательное значения:

1) $x - 3 = 4$
$x = 4 + 3$
$x_1 = 7$

2) $x - 3 = -4$
$x = -4 + 3$
$x_2 = -1$

Таким образом, существует два значения $x$, при которых расстояние между точками C и D равно 5.

Ответ: $x = 7$ или $x = -1$.

306. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $A(-1; -1)$ и $B(2; 4)$.

Пусть искомая точка $M$ лежит на оси абсцисс. Это означает, что ее ордината (координата $y$) равна нулю. Таким образом, координаты точки $M$ можно записать как $(x; 0)$.

По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $A(-1; -1)$ и $B(2; 4)$. Это значит, что расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$, то есть $MA = MB$.

Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ выглядит так: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния $MA^2$ между точками $M(x; 0)$ и $A(-1; -1)$:
$MA^2 = (x - (-1))^2 + (0 - (-1))^2 = (x + 1)^2 + 1^2 = x^2 + 2x + 1 + 1 = x^2 + 2x + 2$.

Найдем квадрат расстояния $MB^2$ между точками $M(x; 0)$ и $B(2; 4)$:
$MB^2 = (x - 2)^2 + (0 - 4)^2 = (x - 2)^2 + (-4)^2 = x^2 - 4x + 4 + 16 = x^2 - 4x + 20$.

Теперь приравняем полученные выражения для квадратов расстояний:
$MA^2 = MB^2$
$x^2 + 2x + 2 = x^2 - 4x + 20$

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$x^2 + 2x - x^2 + 4x = 20 - 2$
$6x = 18$
$x = \frac{18}{6}$
$x = 3$

Таким образом, абсцисса искомой точки равна 3. Поскольку точка лежит на оси абсцисс, ее ордината равна 0. Следовательно, искомая точка имеет координаты $(3; 0)$.

Ответ: $(3; 0)$.

307. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек $D (-2; -3)$ и $E (4; 1)$.

Пусть искомая точка M имеет координаты $(x; y)$. Поскольку точка M, согласно условию, принадлежит оси ординат (оси OY), ее абсцисса (координата x) равна нулю. Следовательно, координаты точки M: $(0; y)$.

По условию задачи, точка M равноудалена от точек $D(-2; -3)$ и $E(4; 1)$. Это означает, что расстояние от M до D равно расстоянию от M до E: $MD = ME$. Чтобы избежать работы с квадратными корнями, удобнее работать с квадратами расстояний: $MD^2 = ME^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Вычислим квадрат расстояния $MD^2$ между точками M(0; y) и D(-2; -3):
$MD^2 = (-2 - 0)^2 + (-3 - y)^2 = (-2)^2 + (-(y+3))^2 = 4 + (y+3)^2 = 4 + y^2 + 6y + 9 = y^2 + 6y + 13$.

Вычислим квадрат расстояния $ME^2$ между точками M(0; y) и E(4; 1):
$ME^2 = (4 - 0)^2 + (1 - y)^2 = 4^2 + (1 - y)^2 = 16 + 1 - 2y + y^2 = y^2 - 2y + 17$.

Теперь приравняем полученные выражения для $MD^2$ и $ME^2$ и решим уравнение относительно y:
$y^2 + 6y + 13 = y^2 - 2y + 17$
$6y + 13 = -2y + 17$
$6y + 2y = 17 - 13$
$8y = 4$
$y = \frac{4}{8} = 0.5$

Таким образом, ордината искомой точки равна 0.5. Координаты точки M, принадлежащей оси ординат и равноудаленной от точек D и E, равны $(0; 0.5)$.

Ответ: $(0; 0.5)$

308. Найдите координаты точки, которая делит отрезок $AB$ в отношении $1 : 3$, считая от точки $A$, если $A (5; -3)$ и $B (-3; 7)$.

Для нахождения координат точки C(x; y), которая делит отрезок с концами в точках $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ в заданном отношении $\lambda = m:n$, считая от точки A, используются следующие формулы:

$x = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m + n}$

$y = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m + n}$

По условию задачи, у нас есть точки $A(5; -3)$ и $B(-3; 7)$. Отношение, в котором делится отрезок, равно $1 : 3$. Это означает, что $m=1$ и $n=3$.

Координаты точек:

$x_1 = 5$, $y_1 = -3$

$x_2 = -3$, $y_2 = 7$

Подставим значения в формулы для нахождения координат искомой точки.

Вычислим абсциссу (координату x):

$x = \frac{3 \cdot 5 + 1 \cdot (-3)}{1 + 3} = \frac{15 - 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Вычислим ординату (координату y):

$y = \frac{3 \cdot (-3) + 1 \cdot 7}{1 + 3} = \frac{-9 + 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Таким образом, искомая точка имеет координаты (3; -0.5).

Ответ: (3; -0.5)

309. Четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм, $A (-5; 1)$, $B (-4; 4)$, $C (-1; 5)$. Найдите координаты вершины $D$.

Для нахождения координат вершины $D$ параллелограмма $ABCD$ воспользуемся одним из его свойств: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Пусть искомые координаты вершины $D$ равны $(x_D; y_D)$.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам: $x_M = \frac{x_1+x_2}{2}$ и $y_M = \frac{y_1+y_2}{2}$.

1. Найдём координаты середины диагонали $AC$, используя координаты точек $A(-5; 1)$ и $C(-1; 5)$:
$x_{AC} = \frac{-5 + (-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$y_{AC} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, точка пересечения диагоналей имеет координаты $(-3; 3)$.

2. Эта же точка является серединой диагонали $BD$. Запишем выражения для координат середины диагонали $BD$, используя координаты точек $B(-4; 4)$ и $D(x_D; y_D)$:
$x_{BD} = \frac{-4 + x_D}{2}$
$y_{BD} = \frac{4 + y_D}{2}$

3. Так как середины диагоналей совпадают, мы можем приравнять их соответствующие координаты и решить полученные уравнения:
$x_{AC} = x_{BD} \implies -3 = \frac{-4 + x_D}{2}$
$-6 = -4 + x_D$
$x_D = -6 + 4 = -2$

$y_{AC} = y_{BD} \implies 3 = \frac{4 + y_D}{2}$
$6 = 4 + y_D$
$y_D = 6 - 4 = 2$

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(-2; 2)$.

Ответ: $D(-2; 2)$.

310. Четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм, $A (-2; -2)$, $C (4; 1)$, $D (-1; 1)$. Найдите координаты вершины $B$.

Основным свойством параллелограмма является то, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Пусть искомая вершина $B$ имеет координаты $(x_B; y_B)$.

Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов.

1. Найдём координаты $(x_O; y_O)$ середины диагонали $AC$, используя координаты точек $A(-2; -2)$ и $C(4; 1)$:
$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-2 + 1}{2} = -\frac{1}{2}$
Таким образом, середина диагонали $AC$ — это точка $O(1; -0.5)$.

2. Найдём координаты той же середины $O$, но уже для диагонали $BD$, используя координаты точек $B(x_B; y_B)$ и $D(-1; 1)$:
$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{x_B - 1}{2}$
$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{y_B + 1}{2}$

3. Так как это одна и та же точка, приравняем соответствующие выражения для её координат и решим полученную систему уравнений:
$\frac{x_B - 1}{2} = 1 \implies x_B - 1 = 2 \implies x_B = 3$
$\frac{y_B + 1}{2} = -\frac{1}{2} \implies y_B + 1 = -1 \implies y_B = -2$

Следовательно, координаты вершины $B$ равны $(3; -2)$.

Ответ: $(3; -2)$

311. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2; 8)$, $B(3; -3)$, $C(6; 2)$ и $D(1; 13)$ является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ с заданными вершинами является параллелограммом, можно использовать одно из свойств параллелограмма в координатной геометрии. Рассмотрим два наиболее распространенных способа.

Способ 1: Проверка равенства векторов противоположных сторон

Четырехугольник является параллелограммом, если вектор одной его стороны равен вектору противоположной стороны. Это условие гарантирует, что эти стороны параллельны и равны по длине. Проверим, выполняется ли равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Координаты вершин: $A(-2; 8)$, $B(3; -3)$, $C(6; 2)$ и $D(1; 13)$.

Координаты вектора находятся по формуле: $\vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (3 - (-2); -3 - 8) = (5; -11)$

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (6 - 1; 2 - 13) = (5; -11)$

Так как координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ совпадают, то $\vec{AB} = \vec{DC}$. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Способ 2: Проверка совпадения середин диагоналей

Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей $AC$ и $BD$ должны совпадать.

Координаты середины отрезка находятся по формуле: $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.

Найдем координаты середины диагонали $AC$:

$M_{AC} = (\frac{-2 + 6}{2}; \frac{8 + 2}{2}) = (\frac{4}{2}; \frac{10}{2}) = (2; 5)$

Найдем координаты середины диагонали $BD$:

$M_{BD} = (\frac{3 + 1}{2}; \frac{-3 + 13}{2}) = (\frac{4}{2}; \frac{10}{2}) = (2; 5)$

Поскольку координаты середин диагоналей $AC$ и $BD$ совпадают $(2; 5)$, диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано: четырехугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2; 8)$, $B(3; -3)$, $C(6; 2)$ и $D(1; 13)$ является параллелограммом.

312. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-3; -2)$, $B (-1; 2)$, $C (1; -2)$ и $D (-1; -6)$ является ромбом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны имеют одинаковую длину. Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Нам даны координаты вершин четырёхугольника: A(-3; -2), B(-1; 2), C(1; -2) и D(-1; -6). Вычислим последовательно длины всех его сторон.

Длина стороны AB:

$AB = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-1 + 3)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

Длина стороны BC:

$BC = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(1 + 1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{2^2 + 16} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

Длина стороны CD:

$CD = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-6 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-6 + 2)^2} = \sqrt{4 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

Длина стороны DA:

$DA = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (-2 - (-6))^2} = \sqrt{(-3 + 1)^2 + (-2 + 6)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

Мы получили, что все стороны четырёхугольника равны: $AB = BC = CD = DA = \sqrt{20}$.

Поскольку четырёхугольник, у которого все стороны равны, по определению является ромбом, то ABCD — ромб.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник ABCD является ромбом, так как длины всех его сторон равны $\sqrt{20}$.

313. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2; 6), B(-8; -2), C(0; -8)$ и $D(6; 0)$ является квадратом.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, достаточно показать, что все его стороны равны и диагонали также равны. Для вычисления длин отрезков воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Заданные координаты вершин четырёхугольника: A(-2; 6), B(-8; -2), C(0; -8) и D(6; 0).

1. Вычислим длины сторон четырёхугольника:

$AB = \sqrt{(-8 - (-2))^2 + (-2 - 6)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

$BC = \sqrt{(0 - (-8))^2 + (-8 - (-2))^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

$CD = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - (-8))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

$DA = \sqrt{(-2 - 6)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

Так как $AB = BC = CD = DA = 10$, все стороны четырёхугольника равны. Это означает, что ABCD является ромбом.

2. Вычислим длины диагоналей:

$AC = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-8 - 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-14)^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200}$.

$BD = \sqrt{(6 - (-8))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{14^2 + 2^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200}$.

Так как $AC = BD = \sqrt{200}$, диагонали четырёхугольника равны.

Поскольку ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, данный четырёхугольник является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

314. Точки $D (1; 4)$ и $E (2; 2)$ – середины сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $A$ и $C$, если $B (-3; -1)$.

Пусть искомые координаты вершин треугольника будут $A(x_A; y_A)$ и $C(x_C; y_C)$.По условию задачи даны координаты вершины $B(-3; -1)$, а также координаты точек $D(1; 4)$ и $E(2; 2)$, которые являются серединами сторон $AC$ и $BC$ соответственно.

Координаты $(x_{сер}; y_{сер})$ середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам:$x_{сер} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_{сер} = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Сначала найдем координаты вершины $C$, используя тот факт, что точка $E(2; 2)$ является серединой отрезка $BC$. Подставим известные координаты в формулы:
Для координаты x:$x_E = \frac{x_B + x_C}{2} \implies 2 = \frac{-3 + x_C}{2}$$4 = -3 + x_C$$x_C = 7$
Для координаты y:$y_E = \frac{y_B + y_C}{2} \implies 2 = \frac{-1 + y_C}{2}$$4 = -1 + y_C$$y_C = 5$
Таким образом, координаты вершины $C$ — $(7; 5)$.

Теперь найдем координаты вершины $A$, зная, что точка $D(1; 4)$ является серединой отрезка $AC$. Мы уже нашли координаты точки $C(7; 5)$. Подставим известные значения в формулы:
Для координаты x:$x_D = \frac{x_A + x_C}{2} \implies 1 = \frac{x_A + 7}{2}$$2 = x_A + 7$$x_A = -5$
Для координаты y:$y_D = \frac{y_A + y_C}{2} \implies 4 = \frac{y_A + 5}{2}$$8 = y_A + 5$$y_A = 3$
Таким образом, координаты вершины $A$ — $(-5; 3)$.

Ответ: координаты вершин $A(-5; 3)$ и $C(7; 5)$.

315. Найдите длину отрезка, концы которого принадлежат осям координат, а серединой является точка $M(-3; 8)$.

Пусть концы отрезка — это точки A и B. По условию, они лежат на осях координат. Это значит, что одна точка лежит на оси Ox, а другая — на оси Oy. Пусть точка A лежит на оси Ox, тогда ее координаты $A(x_A; 0)$. Пусть точка B лежит на оси Oy, тогда ее координаты $B(0; y_B)$.

Серединой отрезка AB является точка $M(-3; 8)$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим известные значения координат точек A, B и M в эти формулы:

$-3 = \frac{x_A + 0}{2}$

$8 = \frac{0 + y_B}{2}$

Из этих уравнений найдем $x_A$ и $y_B$:

$x_A = -3 \cdot 2 = -6$

$y_B = 8 \cdot 2 = 16$

Таким образом, координаты концов отрезка: $A(-6; 0)$ и $B(0; 16)$.

Теперь найдем длину отрезка AB по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$d = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (16 - 0)^2} = \sqrt{(6)^2 + (16)^2} = \sqrt{36 + 256} = \sqrt{292}$

Упростим полученный корень. Разложим число 292 на простые множители: $292 = 4 \cdot 73 = 2^2 \cdot 73$.

$d = \sqrt{4 \cdot 73} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{73} = 2\sqrt{73}$

Ответ: $2\sqrt{73}$

316. Найдите координаты вершины C равностороннего треугольника ABC, если $A (2; -3)$ и $B (-2; 3)$.

Пусть координаты вершины $C$ — $(x, y)$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, все его стороны равны: $AB = BC = AC$. Следовательно, квадраты длин сторон также равны: $AB^2 = BC^2 = AC^2$.

1. Найдем квадрат длины стороны $AB$, используя координаты вершин $A(2; -3)$ и $B(-2; 3)$. По формуле квадрата расстояния между двумя точками:
$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = (-2 - 2)^2 + (3 - (-3))^2 = (-4)^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$.

2. Выразим квадраты длин сторон $AC$ и $BC$ через координаты $C(x, y)$:
$AC^2 = (x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2$.
$BC^2 = (x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2$.

3. Так как $AC^2 = AB^2$ и $BC^2 = AB^2$, мы можем составить систему из двух уравнений:
$\begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 52 \\ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 52 \end{cases}$

4. Раскроем скобки и упростим оба уравнения.
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 52 \implies x^2 - 4x + y^2 + 6y = 39$ (1)
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 52 \implies x^2 + 4x + y^2 - 6y = 39$ (2)

5. Приравняем левые части уравнений (1) и (2), так как их правые части равны 39:
$x^2 - 4x + y^2 + 6y = x^2 + 4x + y^2 - 6y$.
$-4x + 6y = 4x - 6y$.
$12y = 8x$.
$y = \frac{8}{12}x = \frac{2}{3}x$.

6. Подставим найденное соотношение $y = \frac{2}{3}x$ в уравнение (2):
$x^2 + 4x + (\frac{2}{3}x)^2 - 6(\frac{2}{3}x) = 39$.
$x^2 + 4x + \frac{4}{9}x^2 - 4x = 39$.
$x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 39$.
$\frac{13}{9}x^2 = 39$.
$x^2 = \frac{39 \cdot 9}{13} = 3 \cdot 9 = 27$.
$x = \pm\sqrt{27} = \pm3\sqrt{3}$.

7. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$:
При $x_1 = 3\sqrt{3}$, $y_1 = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$. Координаты первой возможной вершины $C_1(3\sqrt{3}; 2\sqrt{3})$.
При $x_2 = -3\sqrt{3}$, $y_2 = \frac{2}{3}(-3\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$. Координаты второй возможной вершины $C_2(-3\sqrt{3}; -2\sqrt{3})$.

Таким образом, существует два возможных положения для вершины C.
Ответ: $(3\sqrt{3}; 2\sqrt{3})$ и $(-3\sqrt{3}; -2\sqrt{3})$.

317. Найдите координаты вершины $E$ равностороннего треугольника $DEF$, если $D(-6; 0)$ и $F(2; 0)$.

Поскольку треугольник $DEF$ является равносторонним, все его стороны равны, то есть $DE = EF = DF$. Найдем длину стороны $DF$, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Для точек $D(-6; 0)$ и $F(2; 0)$ расстояние $DF$ равно:
$DF = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.
Следовательно, длина каждой стороны треугольника равна 8.

Пусть координаты вершины $E$ будут $(x_E, y_E)$. Так как точка $E$ равноудалена от точек $D$ и $F$, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $DF$. Поскольку отрезок $DF$ лежит на оси $Ox$, серединный перпендикуляр будет вертикальной прямой. Абсцисса этой прямой равна абсциссе середины отрезка $DF$:
$x_E = \frac{x_D + x_F}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Теперь, зная $x_E$, мы можем найти $y_E$, используя тот факт, что расстояние $DE$ (или $EF$) равно 8. Воспользуемся формулой для квадрата расстояния $DE^2 = 8^2 = 64$:
$DE^2 = (x_E - x_D)^2 + (y_E - y_D)^2 = 64$
$(-2 - (-6))^2 + (y_E - 0)^2 = 64$
$(-2 + 6)^2 + y_E^2 = 64$
$4^2 + y_E^2 = 64$
$16 + y_E^2 = 64$
$y_E^2 = 64 - 16$
$y_E^2 = 48$
$y_E = \pm\sqrt{48} = \pm\sqrt{16 \cdot 3} = \pm4\sqrt{3}$.

Таким образом, существуют две возможные точки для вершины $E$, симметричные относительно оси абсцисс.
Ответ: $(-2; 4\sqrt{3})$ или $(-2; -4\sqrt{3})$.