Страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. На рисунке 65 изображён вписанный в окружность треугольник ABC, $\angle A = 30^\circ$, BC = $a$. Чему равна площадь сегмента, основание которого стягивает дугу BAC?

Рис. 65

А) $\frac{a^2(2\pi + 3\sqrt{3})}{12}$

В) $\frac{a^2(10\pi + 3\sqrt{3})}{12}$

Б) $\frac{a^2(2\pi - 3\sqrt{3})}{12}$

Г) $\frac{a^2(10\pi - 3\sqrt{3})}{12}$

Для решения задачи найдем площадь сегмента, основание которого — хорда BC, а дуга — большая дуга BAC. Площадь такого (большего) сегмента равна сумме площади соответствующего (большего) сектора и площади треугольника, образованного хордой и радиусами, проведенными к ее концам (треугольник OBC, где O — центр окружности).

1. Нахождение радиуса описанной окружности
Согласно обобщенной теореме синусов, для любого треугольника, вписанного в окружность, выполняется соотношение $ \frac{a}{\sin A} = 2R $, где $a$ — сторона треугольника, $A$ — противолежащий ей угол, а $R$ — радиус описанной окружности.В нашем случае дано $ BC = a $ и $ \angle A = 30^\circ $. Подставим эти значения:$ \frac{a}{\sin 30^\circ} = 2R $
Поскольку $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:$ \frac{a}{1/2} = 2R \Rightarrow 2a = 2R \Rightarrow R = a $.Таким образом, радиус описанной окружности равен $a$.

2. Нахождение центрального угла и площади треугольника OBC
Пусть O — центр окружности. Центральный угол $ \angle BOC $ опирается на меньшую дугу BC, так же как и вписанный угол $ \angle A $. Величина центрального угла вдвое больше величины вписанного, опирающегося на ту же дугу:$ \angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ $.
Рассмотрим треугольник OBC. Его стороны $ OB $ и $ OC $ являются радиусами окружности, поэтому $ OB = OC = R = a $. Угол между ними $ \angle BOC = 60^\circ $.Площадь треугольника OBC можно найти по формуле $ S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma $:$ S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $.

3. Нахождение площади большего сектора
Искомый сегмент стягивает большую дугу BAC. Угол, соответствующий этой дуге (угол большего сектора), равен $ 360^\circ - \angle BOC = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ $.Площадь сектора вычисляется по формуле $ S_{сектор} = \frac{\alpha}{360^\circ}\pi R^2 $:$ S_{большего\_сектора} = \frac{300^\circ}{360^\circ} \pi a^2 = \frac{5}{6}\pi a^2 $.

4. Нахождение площади сегмента
Площадь большего сегмента равна сумме площади большего сектора и площади треугольника OBC:$ S_{сегмента} = S_{большего\_сектора} + S_{\triangle OBC} = \frac{5\pi a^2}{6} + \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $.
Приведем слагаемые к общему знаменателю 12:$ S_{сегмента} = \frac{10\pi a^2}{12} + \frac{3a^2\sqrt{3}}{12} = \frac{10\pi a^2 + 3a^2\sqrt{3}}{12} $.
Вынесем общий множитель $ a^2 $ за скобки:$ S_{сегмента} = \frac{a^2(10\pi + 3\sqrt{3})}{12} $.Данное выражение соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) $ \frac{a^2(10\pi + 3\sqrt{3})}{12} $

11. В треугольнике $ABC$ известно, что $ \angle A = 20^\circ, \angle C = 30^\circ, AC = 14 $ см.

Окружность с центром в точке A касается прямой $BC$. Чему равна длина дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику $ABC$?

А) $ \frac{7\pi}{18} $ см

Б) $ \frac{7\pi}{9} $ см

В) $ \frac{7\pi}{12} $ см

Г) $ \frac{7\pi}{6} $ см

По условию задачи, окружность с центром в точке A касается прямой BC. Это означает, что радиус окружности $R$ равен расстоянию от точки A до прямой BC, то есть длине высоты треугольника ABC, проведенной из вершины A. Обозначим эту высоту как $h_a$.

Чтобы найти длину высоты $h_a$, опустим перпендикуляр AH из вершины A на прямую, содержащую сторону BC. В получившемся прямоугольном треугольнике AHC (с прямым углом при H) нам известна гипотенуза $AC = 14$ см и угол $\angle ACH$, который равен углу $\angle C$ треугольника ABC, то есть $\angle C = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла. Таким образом, мы можем вычислить радиус $R$:

$R = h_a = AH = AC \cdot \sin(\angle C) = 14 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, находим радиус:

$R = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$ см.

Теперь необходимо найти длину дуги этой окружности, которая принадлежит треугольнику ABC. Эта дуга является частью окружности с центром в A, заключенной между сторонами AB и AC. Следовательно, центральный угол этой дуги равен углу A треугольника. По условию, $\angle A = 20^\circ$.

Длина дуги $L$ вычисляется по формуле:

$L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$, где $\alpha$ - величина центрального угла в градусах.

Подставляем в формулу известные значения $\alpha = 20^\circ$ и $R = 7$ см:

$L = \frac{20}{360} \cdot 2\pi \cdot 7 = \frac{1}{18} \cdot 14\pi = \frac{14\pi}{18} = \frac{7\pi}{9}$ см.

Полученный результат соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $\frac{7\pi}{9}$ см.

12. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен $6\sqrt{3}$ см, а радиус вписанной в него окружности – 9 см. Сколько сторон имеет многоугольник?

А) 6

Б) 12

В) 9

Г) 18

Для нахождения количества сторон правильного многоугольника воспользуемся соотношением между радиусом описанной окружности ($R$), радиусом вписанной окружности ($r$) и количеством сторон ($n$).

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя соседними вершинами многоугольника и его центром. Высота этого треугольника, опущенная из центра, является радиусом вписанной окружности ($r$), а боковые стороны являются радиусами описанной окружности ($R$). Эта высота делит угол при центре ($\frac{360^\circ}{n}$) пополам. В получившемся прямоугольном треугольнике катет $r$, гипотенуза $R$ и угол $\frac{180^\circ}{n}$ связаны следующей формулой:

$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{r}{R}$

Из условия задачи нам даны значения радиусов:

$R = 6\sqrt{3}$ см

$r = 9$ см

Подставим эти значения в формулу:

$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{9}{6\sqrt{3}}$

Теперь упростим полученную дробь. Сократим числитель и знаменатель на 3:

$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Сократим дробь на 3:

$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Мы получили стандартное значение косинуса. Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^\circ$. Следовательно:

$\frac{180^\circ}{n} = 30^\circ$

Найдем $n$ из этого уравнения:

$n = \frac{180^\circ}{30^\circ}$

$n = 6$

Таким образом, у правильного многоугольника 6 сторон.

Ответ: 6