Страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

281. Найдите сторону ромба, если его высота равна 6 см, а угол между стороной ромба и одной из диагоналей равен $15^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба и тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пусть сторона ромба равна a. По свойству ромба, его диагонали являются биссектрисами его углов. В условии дано, что угол между стороной и одной из диагоналей равен $15^\circ$. Это означает, что диагональ делит угол ромба на два равных угла по $15^\circ$. Следовательно, один из углов ромба (пусть это будет острый угол $\alpha$) равен:
$ \alpha = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ $

Высота ромба h, опущенная из одной из вершин на противолежащую сторону a, образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона ромба a является гипотенузой, а высота h — катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Соотношение между этими величинами определяется через синус угла $\alpha$:
$ \sin(\alpha) = \frac{h}{a} $

Из этой формулы мы можем выразить сторону ромба a:
$ a = \frac{h}{\sin(\alpha)} $

Подставим известные значения: высота $h = 6$ см и угол $\alpha = 30^\circ$.
$ a = \frac{6}{\sin(30^\circ)} $

Зная, что $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем:
$ a = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot 2 = 12 $ см.

Ответ: 12 см.

282. Биссектриса угла $A$ прямоугольника $ABCD$ делит его сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$ длиной 10 см и 14 см соответственно. На отрезки какой длины эта биссектриса делит диагональ прямоугольника?

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник, а $AM$ — биссектриса угла $A$, где точка $M$ лежит на стороне $BC$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его угол $\angle A = 90^\circ$. Так как $AM$ является биссектрисой этого угла, то $\angle BAM = \angle MAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. Угол $\angle B = 90^\circ$, так как это угол прямоугольника. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle BMA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.Поскольку в треугольнике $\triangle ABM$ два угла равны ($\angle BAM = \angle BMA = 45^\circ$), он является равнобедренным, и его стороны $AB$ и $BM$ равны.

По условию задачи, биссектриса делит сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$ длиной 10 см и 14 см соответственно. Это означает, что $BM = 10$ см и $MC = 14$ см.Из равнобедренного треугольника $\triangle ABM$ мы нашли, что $AB = BM$, следовательно, сторона $AB = 10$ см.Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MC$: $BC = BM + MC = 10 + 14 = 24$ см.В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 24$ см.

Биссектриса $AM$ пересекает диагональ $BD$ (диагональ $AC$ она пересекает только в вершине $A$). Обозначим точку пересечения $AM$ и $BD$ как $O$.Рассмотрим треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle MBO$. Поскольку $AD \parallel BC$ (как противоположные стороны прямоугольника), то и $AD \parallel BM$.1. $\angle ADO = \angle MBO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).2. $\angle DAO = \angle BMO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AM$).Следовательно, треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle MBO$ подобны по двум углам (признак подобия AA).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:$$ \frac{BO}{DO} = \frac{BM}{AD} $$Подставим известные значения: $BM = 10$ см и $AD = 24$ см.$$ \frac{BO}{DO} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} $$Это означает, что биссектриса делит диагональ $BD$ в отношении $5:12$.

Теперь найдем полную длину диагонали $BD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$ по теореме Пифагора:$$ BD^2 = AB^2 + AD^2 $$$$ BD^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 $$$$ BD = \sqrt{676} = 26 \text{ см} $$Диагональ $BD$ состоит из двух отрезков $BO$ и $DO$, сумма длин которых равна $BD$, то есть $BO + DO = 26$ см. Пусть $BO = 5x$ и $DO = 12x$. Тогда их сумма $5x + 12x = 17x = 26$, откуда $x = \frac{26}{17}$.Следовательно, длины искомых отрезков равны:$$ BO = 5x = 5 \cdot \frac{26}{17} = \frac{130}{17} \text{ см} $$$$ DO = 12x = 12 \cdot \frac{26}{17} = \frac{312}{17} \text{ см} $$

Ответ: Биссектриса делит диагональ на отрезки длиной $\frac{130}{17}$ см и $\frac{312}{17}$ см.

283. Сумма углов при большем основании трапеции равна $90^\circ$. Докажите, что расстояние между серединами оснований трапеции равно полуразности оснований.

Дано:

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD$ — большее основание. $M$ — середина $BC$, $N$ — середина $AD$. Сумма углов при большем основании $∠A + ∠D = 90°$.

Доказать:

Расстояние $MN$ равно полуразности оснований: $MN = \frac{AD - BC}{2}$.

Доказательство:

Продлим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$. Рассмотрим полученный треугольник $APD$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $∠APD = 180° - (∠PAD + ∠PDA)$. По условию задачи, сумма углов при большем основании $∠A + ∠D = 90°$, следовательно, $∠APD = 180° - 90° = 90°$. Это означает, что треугольник $APD$ является прямоугольным.

Так как основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, то треугольник $BPC$ подобен треугольнику $APD$. Из этого следует, что $∠BPC = ∠APD = 90°$, то есть треугольник $BPC$ также является прямоугольным, а $BC$ и $AD$ — гипотенузы в треугольниках $BPC$ и $APD$ соответственно.

Рассмотрим медианы, проведённые из вершины прямого угла $P$ в этих треугольниках. Отрезок $PN$ является медианой к гипотенузе $AD$ в треугольнике $APD$, так как $N$ — середина $AD$. По свойству медианы прямоугольного треугольника, её длина равна половине гипотенузы: $PN = \frac{AD}{2}$. Аналогично, $PM$ — медиана к гипотенузе $BC$ в треугольнике $BPC$, поэтому $PM = \frac{BC}{2}$.

Докажем, что точки $P, M, N$ лежат на одной прямой. В прямоугольном треугольнике $APD$ медиана $PN$ делит его на два равнобедренных треугольника. В $△APN$ стороны $PN=AN$, следовательно, $∠APN = ∠PAN = ∠A$. В прямоугольном треугольнике $BPC$ медиана $PM$ делит его на два равнобедренных треугольника. В $△BPM$ стороны $PM=BM$, следовательно, $∠BPM = ∠PBM$. Так как $BC \parallel AD$, углы $∠PBM$ и $∠PAN$ являются соответственными при секущей $AP$, а значит, равны: $∠PBM = ∠PAN = ∠A$. Таким образом, $∠APN = ∠BPM = ∠A$. Поскольку лучи $PN$ и $PM$ выходят из одной точки $P$, лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AP$ и образуют с ней равные углы, они совпадают. Значит, точки $P, M, N$ лежат на одной прямой.

Так как точки $P, M, N$ коллинеарны, а $AD > BC$ влечет за собой $PN > PM$, искомое расстояние $MN$ равно разности длин отрезков $PN$ и $PM$:

$MN = PN - PM = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2} = \frac{AD - BC}{2}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, расстояние между серединами оснований трапеции равно полуразности оснований.

284. Чему равно расстояние между точками A и B координатной прямой, если:

1) A ($3$) и B ($7$);

2) A ($-2$) и B ($4$);

3) A ($-2$) и B ($-6$);

4) A ($a$) и B ($b$)?

Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатной прямой, нужно найти модуль разности их координат. Если точки имеют координаты $x_1$ и $x_2$, то расстояние между ними равно $|x_2 - x_1|$.

1) Даны точки $A(3)$ и $B(7)$. Расстояние между ними равно модулю разности их координат:
$|7 - 3| = |4| = 4$.
Ответ: 4.

2) Даны точки $A(-2)$ и $B(4)$. Расстояние между ними равно:
$|4 - (-2)| = |4 + 2| = |6| = 6$.
Ответ: 6.

3) Даны точки $A(-2)$ и $B(-6)$. Расстояние между ними равно:
$|-6 - (-2)| = |-6 + 2| = |-4| = 4$.
Ответ: 4.

4) Даны точки $A(a)$ и $B(b)$. В общем виде расстояние между точками с координатами $a$ и $b$ выражается формулой модуля их разности:
$|b - a|$.
Ответ: $|b - a|$.

285. Начертите на координатной плоскости отрезок $AB$, найдите по рисунку координаты середины отрезка и сравните их со средним арифметическим соответствующих координат точек $A$ и $B$, если:

1) $A (-1; -6)$, $B (5; -6)$;

2) $A (3; 1)$, $B (3; 5)$;

3) $A (3; -5)$, $B (-1; 3)$.

1) A (-1; -6), B (5; -6);

Начертим на координатной плоскости отрезок AB, отметив точку A с координатами (-1; -6) и точку B с координатами (5; -6). Соединив эти точки, мы получим горизонтальный отрезок, так как их ординаты (координаты y) равны -6.

Найдем по рисунку координаты середины отрезка. Обозначим ее точкой C. Так как отрезок AB горизонтальный, его середина C будет иметь ту же ординату, что и точки A и B, то есть -6. Абсцисса точки C будет находиться ровно посередине между абсциссами точек A и B (-1 и 5). Длина проекции отрезка на ось Ox равна $5 - (-1) = 6$ единиц. Середина будет на расстоянии $6 / 2 = 3$ единицы от каждого конца. Абсцисса точки C равна $-1 + 3 = 2$. Таким образом, координаты середины отрезка, найденные по рисунку, — C(2; -6).

Теперь вычислим среднее арифметическое соответствующих координат точек A и B. Пусть $C(x_C; y_C)$ — середина отрезка AB. Её координаты вычисляются по формулам:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-6 + (-6)}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Координаты, вычисленные как среднее арифметическое, равны (2; -6).

Сравнивая результаты, мы видим, что координаты середины отрезка, найденные по рисунку, (2; -6), совпадают с координатами, вычисленными как среднее арифметическое.

Ответ: Координаты середины отрезка (2; -6) совпадают со средним арифметическим соответствующих координат точек A и B.

2) A (3; 1), B (3; 5);

Начертим на координатной плоскости отрезок AB, отметив точку A с координатами (3; 1) и точку B с координатами (3; 5). Соединив эти точки, мы получим вертикальный отрезок, так как их абсциссы (координаты x) равны 3.

Найдем по рисунку координаты середины отрезка, точки C. Так как отрезок AB вертикальный, его середина C будет иметь ту же абсциссу, что и точки A и B, то есть 3. Ордината точки C будет находиться ровно посередине между ординатами точек A и B (1 и 5). Длина проекции отрезка на ось Oy равна $5 - 1 = 4$ единицы. Середина будет на расстоянии $4 / 2 = 2$ единицы от каждого конца. Ордината точки C равна $1 + 2 = 3$. Таким образом, координаты середины отрезка, найденные по рисунку, — C(3; 3).

Теперь вычислим среднее арифметическое соответствующих координат точек A и B. Пусть $C(x_C; y_C)$ — середина отрезка AB. Её координаты вычисляются по формулам:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Координаты, вычисленные как среднее арифметическое, равны (3; 3).

Сравнивая результаты, мы видим, что координаты середины отрезка, найденные по рисунку, (3; 3), совпадают с координатами, вычисленными как среднее арифметическое.

Ответ: Координаты середины отрезка (3; 3) совпадают со средним арифметическим соответствующих координат точек A и B.

3) A (3; -5), B (-1; 3);

Начертим на координатной плоскости отрезок AB, отметив точку A с координатами (3; -5) и точку B с координатами (-1; 3). Соединив эти точки, мы получим наклонный отрезок.

Чтобы найти по рисунку координаты середины отрезка C, найдем середины его проекций на оси координат. Абсцисса точки C будет находиться посередине между абсциссами точек A и B (3 и -1). Ордината точки C будет находиться посередине между ординатами точек A и B (-5 и 3). Визуально определяем, что середина отрезка по оси Ox находится в точке $x=1$, а по оси Oy — в точке $y=-1$. Таким образом, координаты середины отрезка, найденные по рисунку, — C(1; -1).

Теперь вычислим среднее арифметическое соответствующих координат точек A и B. Пусть $C(x_C; y_C)$ — середина отрезка AB. Её координаты вычисляются по формулам:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Координаты, вычисленные как среднее арифметическое, равны (1; -1).

Сравнивая результаты, мы видим, что координаты середины отрезка, найденные по рисунку, (1; -1), совпадают с координатами, вычисленными как среднее арифметическое.

Ответ: Координаты середины отрезка (1; -1) совпадают со средним арифметическим соответствующих координат точек A и B.

286. Постройте на координатной плоскости треугольник $\Delta ABC$ и найдите его стороны, если $A (5; -1)$, $B (-3; 5)$, $C (-3; -1)$.

Задача состоит из двух частей: построение треугольника на координатной плоскости по заданным координатам вершин и нахождение длин его сторон.

Построение треугольника ABC
Для построения треугольника необходимо отметить на координатной плоскости три точки, являющиеся его вершинами: $A(5; -1)$, $B(-3; 5)$ и $C(-3; -1)$. После этого точки соединяются отрезками $AB$, $BC$ и $AC$, образуя треугольник.
При построении можно заметить, что точки A и C имеют одинаковую ординату ($y = -1$), поэтому сторона AC параллельна оси Ox. Точки B и C имеют одинаковую абсциссу ($x = -3$), поэтому сторона BC параллельна оси Oy. Это означает, что угол C — прямой, и треугольник ABC является прямоугольным.

Нахождение длин сторон
Длину стороны (расстояние между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$) будем находить по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Нахождение длины стороны AC
Найдем расстояние между точками $A(5; -1)$ и $C(-3; -1)$.
Поскольку ординаты точек одинаковы, длина стороны $AC$ равна модулю разности их абсцисс:
$AC = |5 - (-3)| = |5 + 3| = 8$.
Проверка по общей формуле:
$AC = \sqrt{(-3 - 5)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.
Ответ: $AC = 8$.

Нахождение длины стороны BC
Найдем расстояние между точками $B(-3; 5)$ и $C(-3; -1)$.
Поскольку абсциссы точек одинаковы, длина стороны $BC$ равна модулю разности их ординат:
$BC = |5 - (-1)| = |5 + 1| = 6$.
Проверка по общей формуле:
$BC = \sqrt{(-3 - (-3))^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = \sqrt{36} = 6$.
Ответ: $BC = 6$.

Нахождение длины стороны AB
Найдем расстояние между точками $A(5; -1)$ и $B(-3; 5)$, используя общую формулу расстояния:
$AB = \sqrt{(-3 - 5)^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{(-8)^2 + (5 + 1)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: $AB = 10$.

287. В какой координатной четверти находится точка:

1) A $(3; -4)$;

2) B $(-3; 1)$;

3) C $(-4; -5)$;

4) D $(1; 9)$?

Для определения координатной четверти, в которой находится точка с координатами $(x; y)$, необходимо проанализировать знаки ее координат. Координатная плоскость делится на четыре четверти (или квадранта):

• I четверть: абсцисса $x > 0$ и ордината $y > 0$ (обе координаты положительные).
• II четверть: абсцисса $x < 0$ и ордината $y > 0$ (абсцисса отрицательная, ордината положительная).
• III четверть: абсцисса $x < 0$ и ордината $y < 0$ (обе координаты отрицательные).
• IV четверть: абсцисса $x > 0$ и ордината $y < 0$ (абсцисса положительная, ордината отрицательная).

1) A (3; –4)

У точки $A$ абсцисса $x = 3$ положительна ($x > 0$), а ордината $y = -4$ отрицательна ($y < 0$). Следовательно, точка находится в IV координатной четверти.

Ответ: IV четверть.

2) B (–3; 1)

У точки $B$ абсцисса $x = -3$ отрицательна ($x < 0$), а ордината $y = 1$ положительна ($y > 0$). Следовательно, точка находится во II координатной четверти.

Ответ: II четверть.

3) C (–4; –5)

У точки $C$ абсцисса $x = -4$ отрицательна ($x < 0$), и ордината $y = -5$ также отрицательна ($y < 0$). Следовательно, точка находится в III координатной четверти.

Ответ: III четверть.

4) D (1; 9)

У точки $D$ абсцисса $x = 1$ положительна ($x > 0$), и ордината $y = 9$ также положительна ($y > 0$). Следовательно, точка находится в I координатной четверти.

Ответ: I четверть.

288. В какой координатной четверти находится точка M, если:

1) её абсцисса положительна, а ордината отрицательна;

2) произведение её абсциссы и ординаты — отрицательное число;

3) её абсцисса и ордината отрицательны?

1) Пусть точка $M$ имеет координаты $(x; y)$. По условию, её абсцисса положительна ($x > 0$), а ордината отрицательна ($y < 0$). Координатная плоскость делится на четыре четверти (или квадранта) следующим образом:
- I четверть: $x > 0, y > 0$
- II четверть: $x < 0, y > 0$
- III четверть: $x < 0, y < 0$
- IV четверть: $x > 0, y < 0$
Условию $x > 0$ и $y < 0$ соответствует четвертая координатная четверть.
Ответ: в IV четверти.

2) Пусть точка $M$ имеет координаты $(x; y)$. По условию, произведение её абсциссы и ординаты — отрицательное число, то есть $x \cdot y < 0$. Произведение двух чисел отрицательно тогда и только тогда, когда эти числа имеют разные знаки. Возможны два случая:
1. Абсцисса положительна ($x > 0$), а ордината отрицательна ($y < 0$). Это соответствует IV координатной четверти.
2. Абсцисса отрицательна ($x < 0$), а ордината положительна ($y > 0$). Это соответствует II координатной четверти.
Таким образом, точка $M$ может находиться либо во второй, либо в четвертой четверти.
Ответ: во II или IV четверти.

3) Пусть точка $M$ имеет координаты $(x; y)$. По условию, её абсцисса и ордината отрицательны, то есть $x < 0$ и $y < 0$. Координатная четверть, в которой обе координаты отрицательны, — это третья координатная четверть.
Ответ: в III четверти.

289. Что можно сказать о координатах точки A, если:

1) точка A лежит на оси абсцисс;

2) точка A лежит на оси ординат;

3) точка A лежит на биссектрисе четвёртого координатного угла;

4) точка A лежит на биссектрисе третьего координатного угла;

5) точка A лежит на биссектрисе первого координатного угла?

Пусть точка $A$ имеет координаты $(x, y)$.

1) точка А лежит на оси абсцисс

Ось абсцисс — это горизонтальная ось $Ox$. У любой точки, которая лежит на этой оси, координата по оси ординат (координата $y$) всегда равна нулю. Координата по оси абсцисс ($x$) может быть любым действительным числом. Следовательно, координаты точки $A$ имеют вид $(x, 0)$.

Ответ: ордината точки $A$ равна нулю, $y=0$.

2) точка А лежит на оси ординат

Ось ординат — это вертикальная ось $Oy$. У любой точки, которая лежит на этой оси, координата по оси абсцисс (координата $x$) всегда равна нулю. Координата по оси ординат ($y$) может быть любым действительным числом. Следовательно, координаты точки $A$ имеют вид $(0, y)$.

Ответ: абсцисса точки $A$ равна нулю, $x=0$.

3) точка А лежит на биссектрисе четвёртого координатного угла

Четвёртый координатный угол (или четвёртая четверть) — это область, где абсцисса положительна ($x > 0$), а ордината отрицательна ($y < 0$). Биссектриса координатного угла — это луч, исходящий из начала координат и делящий этот угол пополам. Точки, лежащие на биссектрисе четвёртого координатного угла, равноудалены от положительной полуоси $Ox$ и отрицательной полуоси $Oy$. Это означает, что их координаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Уравнение прямой, содержащей эту биссектрису, имеет вид $y = -x$. Таким образом, для точки $A(x,y)$ выполняется равенство $y = -x$, причём $x \ge 0$ (и, соответственно, $y \le 0$).

Ответ: координаты точки $A$ являются противоположными числами, $y = -x$, при этом $x \ge 0$.

4) точка А лежит на биссектрисе третьего координатного угла

Третий координатный угол (третья четверть) — это область, где и абсцисса, и ордината отрицательны ($x < 0$, $y < 0$). Точки, лежащие на биссектрисе третьего координатного угла, равноудалены от отрицательных полуосей $Ox$ и $Oy$. Это означает, что их координаты равны. Уравнение прямой, содержащей эту биссектрису, имеет вид $y = x$. Таким образом, для точки $A(x,y)$ выполняется равенство $y = x$, причём $x \le 0$ (и, соответственно, $y \le 0$).

Ответ: координаты точки $A$ равны, $y = x$, при этом $x \le 0$.

5) точка А лежит на биссектрисе первого координатного угла

Первый координатный угол (первая четверть) — это область, где и абсцисса, и ордината положительны ($x > 0$, $y > 0$). Точки, лежащие на биссектрисе первого координатного угла, равноудалены от положительных полуосей $Ox$ и $Oy$. Это означает, что их координаты равны. Уравнение прямой, содержащей эту биссектрису, имеет вид $y = x$. Таким образом, для точки $A(x,y)$ выполняется равенство $y = x$, причём $x \ge 0$ (и, соответственно, $y \ge 0$).

Ответ: координаты точки $A$ равны, $y = x$, при этом $x \ge 0$.