Страница 71 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равно количество сторон правильного многоугольника, если его угол равен $170^\circ$?

А) 30

Б) 32

В) 36

Г) такого многоугольника не существует

Для нахождения количества сторон правильного многоугольника, зная его внутренний угол, можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Через формулу внутреннего угла

Величина внутреннего угла $\alpha$ правильного n-угольника вычисляется по формуле:

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

где $n$ — количество сторон. По условию задачи $\alpha = 170^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$170 = \frac{(n-2) \times 180}{n}$

Для решения этого уравнения умножим обе части на $n$:

$170n = 180(n-2)$

Раскроем скобки в правой части:

$170n = 180n - 360$

Перегруппируем слагаемые, чтобы найти $n$:

$180n - 170n = 360$

$10n = 360$

$n = \frac{360}{10}$

$n = 36$

Способ 2: Через формулу внешнего угла

Этот способ является более быстрым. Внешний угол $\beta$ правильного многоугольника связан с внутренним углом $\alpha$ соотношением:

$\beta = 180^\circ - \alpha$

Вычислим внешний угол:

$\beta = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ$

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного n-угольника все внешние углы равны, и каждый из них равен:

$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Отсюда можно выразить количество сторон $n$:

$n = \frac{360^\circ}{\beta}$

Подставим значение нашего внешнего угла:

$n = \frac{360}{10} = 36$

Оба способа показывают, что количество сторон правильного многоугольника равно 36. Так как 36 — целое число большее 2, такой многоугольник существует.

Ответ: 36.

2. Чему равен центральный угол правильного десятиугольника?

А) $18^\circ$

Б) $36^\circ$

В) $144^\circ$

Г) $10^\circ$

Центральный угол правильного многоугольника — это угол с вершиной в центре многоугольника, образованный двумя радиусами, проведенными к соседним вершинам. Сумма всех центральных углов правильного n-угольника всегда равна $360^\circ$, так как они вместе образуют полный круг вокруг центра.

Так как многоугольник является правильным, все его стороны и углы равны. Следовательно, все $n$ центральных углов, опирающихся на равные стороны, также равны между собой. Для нахождения величины одного центрального угла ($\alpha$) необходимо разделить $360^\circ$ на количество сторон многоугольника $n$.

Формула для расчета выглядит следующим образом:
$\alpha = \frac{360^\circ}{n}$

В данной задаче речь идет о правильном десятиугольнике. Это значит, что количество его сторон $n = 10$.

Теперь подставим значение $n=10$ в формулу для нахождения центрального угла:
$\alpha = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$

Таким образом, центральный угол правильного десятиугольника равен $36^\circ$. Среди предложенных вариантов этот результат соответствует пункту Б).

Ответ: $36^\circ$

3. Какой наибольший центральный угол может иметь правильный многоугольник?

А) $90^\circ$

В) $150^\circ$

Б) $120^\circ$

Г) указать невозможно

Центральный угол правильного n-угольника — это угол при вершине в центре многоугольника, образованный двумя радиусами, проведёнными к соседним вершинам. Сумма всех центральных углов любого многоугольника равна $360^\circ$.

В правильном n-угольнике все $n$ центральных углов равны между собой. Поэтому величину одного центрального угла $(\alpha)$ можно найти по формуле:

$\alpha = \frac{360^\circ}{n}$

где $n$ — количество сторон (и вершин) правильного многоугольника.

Согласно определению, многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны, то есть $n$ является целым числом, и $n \ge 3$.

Чтобы найти наибольшее возможное значение центрального угла $\alpha$, необходимо, чтобы знаменатель $n$ в дроби $\frac{360^\circ}{n}$ был наименьшим.

Наименьшее возможное целое значение для $n$ равно 3. Это соответствует правильному (равностороннему) треугольнику.

Вычислим центральный угол для $n=3$:

$\alpha = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$

Для любого другого правильного многоугольника число сторон $n$ будет больше 3, а значит, центральный угол будет меньше $120^\circ$. Например:

• для квадрата ($n=4$): $\alpha = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$
• для правильного пятиугольника ($n=5$): $\alpha = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$

Таким образом, наибольший центральный угол, который может иметь правильный многоугольник, равен $120^\circ$.

Ответ: Б) 120°

4. В окружность вписан правильный шестиугольник, сторона которого равна $a$. Чему равна сторона треугольника, описанного около этой окружности?

А) $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Б) $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

В) $a\sqrt{3}$

Г) $2a\sqrt{3}$

Пусть $R$ — радиус окружности.

1. Сначала найдем радиус окружности. По условию, в окружность вписан правильный шестиугольник со стороной $a_6 = a$. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне. Следовательно, радиус данной окружности $R = a_6 = a$.

2. Теперь найдем сторону треугольника, описанного около этой окружности. Поскольку в задаче говорится о "стороне" треугольника в единственном числе, подразумевается, что треугольник является правильным (равносторонним). Обозначим сторону этого треугольника как $b_3$.

Для треугольника, описанного около окружности, эта окружность является вписанной. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности, который мы обозначим как $r$, связан с его стороной $b_3$ следующей формулой: $r = \frac{b_3}{2\sqrt{3}}$

Из шага 1 мы знаем, что радиус нашей окружности равен $a$. Так как эта окружность вписана в треугольник, ее радиус $r$ равен $a$. $r = R = a$

Подставим значение $r = a$ в формулу для стороны треугольника: $a = \frac{b_3}{2\sqrt{3}}$

Теперь выразим из этого уравнения сторону треугольника $b_3$: $b_3 = a \cdot 2\sqrt{3} = 2a\sqrt{3}$

Таким образом, сторона треугольника, описанного около данной окружности, равна $2a\sqrt{3}$.

Ответ: $2a\sqrt{3}$

5. Чему равен радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, меньшая диагональ которого равна 12 см?

А) 6 см

Б) $6\sqrt{3}$ см

В) $2\sqrt{3}$ см

Г) 12 см

Для решения задачи установим связь между радиусом вписанной окружности ($r$) и меньшей диагональю ($d$) правильного шестиугольника. Пусть сторона шестиугольника равна $a$.

Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен его апофеме. Апофема, в свою очередь, является высотой одного из шести равносторонних треугольников, на которые можно разделить шестиугольник. Формула для радиуса вписанной окружности через сторону $a$: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Меньшая диагональ ($d$) соединяет две вершины шестиугольника через одну. Ее длина связана со стороной $a$ следующей формулой, которую можно вывести из теоремы косинусов для треугольника со сторонами $a$, $a$ и углом между ними $120^\circ$: $d = a\sqrt{3}$

Теперь мы можем выразить радиус $r$ через диагональ $d$. Для этого из второй формулы выразим $a$: $a = \frac{d}{\sqrt{3}}$

И подставим это выражение в первую формулу: $r = \frac{(\frac{d}{\sqrt{3}})\sqrt{3}}{2} = \frac{d}{2}$

Таким образом, радиус вписанной окружности в два раза меньше меньшей диагонали.

По условию задачи $d = 12$ см. Вычисляем радиус: $r = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

6. Чему равна длина дуги окружности, градусная мера которой равна $207^\circ$, если радиус окружности 4 см?

А) $4,6\pi$ см

Б) 4,6 см

В) $23\pi$ см

Г) 23 см

Для нахождения длины дуги окружности ($L$) используется формула, которая связывает длину дуги с ее градусной мерой ($\alpha$) и радиусом окружности ($R$): $L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi R$

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:

• Градусная мера дуги: $\alpha = 207°$
• Радиус окружности: $R = 4$ см

Подставим эти значения в формулу: $L = \frac{207}{360} \cdot 2\pi \cdot 4$

Теперь выполним вычисления. Сначала упростим правую часть выражения: $L = \frac{207}{360} \cdot 8\pi$

Сократим дробь $\frac{207}{360}$. Для этого найдем общий делитель. Сумма цифр числителя $2+0+7=9$, и сумма цифр знаменателя $3+6+0=9$. Так как обе суммы делятся на 9, то и сами числа делятся на 9. $207 \div 9 = 23$ $360 \div 9 = 40$ Таким образом, дробь можно записать как $\frac{23}{40}$.

Подставим сокращенную дробь обратно в наше выражение: $L = \frac{23}{40} \cdot 8\pi$

Теперь можно сократить 8 и 40, так как 40 делится на 8: $L = \frac{23 \cdot 8}{40} \pi = \frac{23}{5} \pi$

Чтобы сравнить полученный результат с предложенными вариантами ответа, представим дробь $\frac{23}{5}$ в виде десятичного числа: $\frac{23}{5} = 4.6$

Следовательно, длина дуги окружности равна $4.6\pi$ см. Этот результат соответствует варианту А.

Ответ: А) 4,6π см

7. Какую часть площади круга составляет площадь сектора, центральный угол которого равен 140°?

А) $ \frac{7}{9} $

Б) $ \frac{7}{12} $

В) $ \frac{7}{15} $

Г) $ \frac{7}{18} $

Чтобы определить, какую часть площади круга составляет площадь сектора, необходимо найти отношение площади сектора к площади всего круга. Это отношение равно отношению центрального угла сектора к полному углу круга, который составляет $360^{\circ}$.

Формула для площади круга: $S_{круга} = \pi R^2$.
Формула для площади сектора с центральным углом $\alpha$: $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}$.

Найдем отношение площади сектора к площади круга:
$\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{\frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}}{\pi R^2} = \frac{\alpha}{360^{\circ}}$

По условию задачи, центральный угол сектора $\alpha = 140^{\circ}$. Подставим это значение в полученное отношение:
$\frac{140^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{140}{360}$

Теперь необходимо сократить полученную дробь. Сначала разделим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{140}{360} = \frac{14}{36}$

Далее, разделим числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$\frac{14 \div 2}{36 \div 2} = \frac{7}{18}$

Следовательно, площадь сектора составляет $\frac{7}{18}$ от площади круга. Этот результат соответствует варианту Г).

Ответ: Г) $\frac{7}{18}$

8. Вписанный в окружность угол, равный $40^\circ$, опирается на дугу длиной 8 см. Какова длина данной окружности?

А) 36 см

Б) $72\pi$ см

В) 72 см

Г) $36\pi$ см

По свойству вписанного угла, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, градусная мера дуги, на которую опирается угол в $40^{\circ}$, в два раза больше.

Градусная мера дуги = $2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}$.

Длина дуги ($l$) относится к длине всей окружности ($C$) так же, как градусная мера этой дуги относится к градусной мере полной окружности ($360^{\circ}$). Составим пропорцию:

$ \frac{l}{C} = \frac{80^{\circ}}{360^{\circ}} $

По условию, длина дуги $l = 8$ см. Подставим это значение в пропорцию:

$ \frac{8}{C} = \frac{80}{360} $

Сократим дробь в правой части:

$ \frac{80}{360} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} $

Получим уравнение:

$ \frac{8}{C} = \frac{2}{9} $

Теперь выразим длину окружности $C$:

$ C = \frac{8 \cdot 9}{2} = \frac{72}{2} = 36 $ см.

Ответ: 36 см

9. Какой должна быть длина хорды окружности, радиус которой ра-вен $R$, чтобы длины дуг, на которые концы этой хорды делятокружность, относились как $2 : 1$?

А) $R$

Б) $2R$

В) $\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Г) $R\sqrt{3}$

Решение

Пусть $R$ — радиус окружности. Хорда делит окружность на две дуги, длины которых, по условию, относятся как 2:1.

Длина дуги пропорциональна величине центрального угла, который на нее опирается. Следовательно, центральные углы, соответствующие этим дугам, также относятся как 2:1. Обозначим эти углы как $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

$\alpha_1 : \alpha_2 = 2 : 1$

В сумме эти два угла составляют полный угол окружности, то есть $360^\circ$.

$\alpha_1 + \alpha_2 = 360^\circ$

Из соотношения $\alpha_1 = 2\alpha_2$ подставим это выражение в сумму:

$2\alpha_2 + \alpha_2 = 360^\circ$
$3\alpha_2 = 360^\circ$
$\alpha_2 = 120^\circ$

Таким образом, меньшая дуга стягивается центральным углом в $120^\circ$. Хорда, соединяющая концы этой дуги, является основанием равнобедренного треугольника, боковые стороны которого равны радиусу $R$, а угол между ними равен $120^\circ$.

Для нахождения длины хорды $L$ воспользуемся теоремой косинусов:

$L^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$L^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-1/2)$
$L^2 = 2R^2 + R^2$
$L^2 = 3R^2$

Отсюда длина хорды $L$ равна:

$L = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$

Этот результат соответствует варианту Г).

Ответ: Г) $R\sqrt{3}$