Номер 3, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Какой наибольший центральный угол может иметь правильный многоугольник?

А) $90^\circ$

В) $150^\circ$

Б) $120^\circ$

Г) указать невозможно

Центральный угол правильного n-угольника — это угол при вершине в центре многоугольника, образованный двумя радиусами, проведёнными к соседним вершинам. Сумма всех центральных углов любого многоугольника равна $360^\circ$.

В правильном n-угольнике все $n$ центральных углов равны между собой. Поэтому величину одного центрального угла $(\alpha)$ можно найти по формуле:

$\alpha = \frac{360^\circ}{n}$

где $n$ — количество сторон (и вершин) правильного многоугольника.

Согласно определению, многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны, то есть $n$ является целым числом, и $n \ge 3$.

Чтобы найти наибольшее возможное значение центрального угла $\alpha$, необходимо, чтобы знаменатель $n$ в дроби $\frac{360^\circ}{n}$ был наименьшим.

Наименьшее возможное целое значение для $n$ равно 3. Это соответствует правильному (равностороннему) треугольнику.

Вычислим центральный угол для $n=3$:

$\alpha = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$

Для любого другого правильного многоугольника число сторон $n$ будет больше 3, а значит, центральный угол будет меньше $120^\circ$. Например:

• для квадрата ($n=4$): $\alpha = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$
• для правильного пятиугольника ($n=5$): $\alpha = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$

Таким образом, наибольший центральный угол, который может иметь правильный многоугольник, равен $120^\circ$.

Ответ: Б) 120°