Номер 1, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равно количество сторон правильного многоугольника, если его угол равен $170^\circ$?

А) 30

Б) 32

В) 36

Г) такого многоугольника не существует

Для нахождения количества сторон правильного многоугольника, зная его внутренний угол, можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Через формулу внутреннего угла

Величина внутреннего угла $\alpha$ правильного n-угольника вычисляется по формуле:

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

где $n$ — количество сторон. По условию задачи $\alpha = 170^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$170 = \frac{(n-2) \times 180}{n}$

Для решения этого уравнения умножим обе части на $n$:

$170n = 180(n-2)$

Раскроем скобки в правой части:

$170n = 180n - 360$

Перегруппируем слагаемые, чтобы найти $n$:

$180n - 170n = 360$

$10n = 360$

$n = \frac{360}{10}$

$n = 36$

Способ 2: Через формулу внешнего угла

Этот способ является более быстрым. Внешний угол $\beta$ правильного многоугольника связан с внутренним углом $\alpha$ соотношением:

$\beta = 180^\circ - \alpha$

Вычислим внешний угол:

$\beta = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ$

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного n-угольника все внешние углы равны, и каждый из них равен:

$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Отсюда можно выразить количество сторон $n$:

$n = \frac{360^\circ}{\beta}$

Подставим значение нашего внешнего угла:

$n = \frac{360}{10} = 36$

Оба способа показывают, что количество сторон правильного многоугольника равно 36. Так как 36 — целое число большее 2, такой многоугольник существует.

Ответ: 36.