Страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

252. Длина дуги окружности радиуса 24 см равна $8\pi$ см. Найдите градусную меру дуги.

Для нахождения градусной меры дуги воспользуемся формулой длины дуги окружности:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

где $L$ – длина дуги, $R$ – радиус окружности, а $\alpha$ – искомая градусная мера дуги.

По условию задачи нам даны:

Длина дуги $L = 3\pi$ см.

Радиус окружности $R = 24$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$3\pi = \frac{\pi \cdot 24 \cdot \alpha}{180}$

Для того чтобы найти $\alpha$, решим это уравнение. Сначала разделим обе части уравнения на $\pi$:

$3 = \frac{24 \cdot \alpha}{180}$

Теперь выразим $\alpha$, умножив обе части на 180 и разделив на 24:

$\alpha = \frac{3 \cdot 180}{24}$

Выполним умножение в числителе:

$\alpha = \frac{540}{24}$

Сократим дробь. Можно заметить, что $24 = 2 \cdot 12$ и $540 = 54 \cdot 10 = 45 \cdot 12$. Тогда:

$\alpha = \frac{45 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{45}{2}$

$\alpha = 22.5$

Таким образом, градусная мера дуги составляет $22.5^\circ$.

Ответ: $22.5^\circ$.

253. Вычислите длину дуги экватора Земли, градусная мера которой равна $1^{\circ}$, если радиус экватора приближённо равен 6400 км.

Для вычисления длины дуги окружности, зная ее градусную меру и радиус окружности, применяется следующая формула:

$l = \frac{\pi R \alpha}{180°}$

где $l$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера дуги.

По условию задачи, радиус экватора Земли $R$ приблизительно равен 6400 км, а градусная мера дуги $\alpha$ составляет $1°$.

Подставим эти данные в формулу:

$l = \frac{\pi \cdot 6400 \cdot 1}{180}$

Теперь выполним вычисления. Сначала сократим дробь:

$l = \frac{6400\pi}{180} = \frac{640\pi}{18} = \frac{320\pi}{9}$ км.

Это точное значение длины дуги. Чтобы получить приближенное числовое значение, воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3,14$:

$l \approx \frac{320 \cdot 3,14}{9} = \frac{1004,8}{9} \approx 111,64$ км.

Округлив результат до десятых, получаем, что длина дуги составляет примерно 111,6 км.

Ответ: $\frac{320\pi}{9}$ км, что приблизительно равно 111,6 км.

254. Радиус круга равен 6 см. Найдите площадь сектора, если градусная мера его дуги равна:

1) $15^\circ$;

2) $280^\circ$.

Для нахождения площади сектора круга используется формула:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 n}{360}$

где $R$ — это радиус круга, а $n$ — это градусная мера дуги сектора.

По условию задачи, радиус круга $R = 6$ см.

1)

Найдём площадь сектора, если градусная мера его дуги равна $15^\circ$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 15}{360} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 15}{360}$

Сократим 36 и 360:

$S = \frac{\pi \cdot 15}{10} = \frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$ (см²).

Ответ: $1,5\pi$ см².

2)

Найдём площадь сектора, если градусная мера его дуги равна $280^\circ$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 280}{360} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 280}{360}$

Сократим 36 и 360:

$S = \frac{\pi \cdot 280}{10} = 28\pi$ (см²).

Ответ: $28\pi$ см².

255. Площадь сектора составляет $ \frac{5}{8} $ площади круга. Найдите градусную меру его дуги.

Отношение площади сектора к площади всего круга равно отношению градусной меры дуги этого сектора к градусной мере полной окружности (360°).

Пусть $S_{сектора}$ — площадь сектора, $S_{круга}$ — площадь круга, а $\alpha$ — искомая градусная мера дуги.

Тогда можно записать пропорцию:

$\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{\alpha}{360^{\circ}}$

Из условия задачи известно, что $S_{сектора} = \frac{5}{8} S_{круга}$, следовательно, отношение площадей равно $\frac{5}{8}$:

$\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{5}{8}$

Подставим это значение в нашу пропорцию:

$\frac{5}{8} = \frac{\alpha}{360^{\circ}}$

Теперь выразим $\alpha$:

$\alpha = \frac{5}{8} \times 360^{\circ}$

Вычислим значение:

$\alpha = 5 \times \frac{360^{\circ}}{8} = 5 \times 45^{\circ} = 225^{\circ}$

Ответ: 225°

256. Площадь сектора равна $6\pi$ $\text{дм}^2$. Найдите градусную меру дуги этого сектора, если радиус круга равен 12 дм.

Для нахождения градусной меры дуги сектора воспользуемся формулой площади сектора:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}$

где $S_{сектора}$ — это площадь сектора, $R$ — это радиус круга, а $\alpha$ — это искомая градусная мера дуги сектора.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

Площадь сектора $S_{сектора} = 6\pi$ дм².

Радиус круга $R = 12$ дм.

Подставим эти значения в формулу:

$6\pi = \frac{\pi \cdot (12)^2 \cdot \alpha}{360^{\circ}}$

$6\pi = \frac{\pi \cdot 144 \cdot \alpha}{360^{\circ}}$

Для того чтобы найти $\alpha$, сначала разделим обе части уравнения на $\pi$:

$6 = \frac{144 \cdot \alpha}{360^{\circ}}$

Теперь выразим $\alpha$:

$\alpha = \frac{6 \cdot 360^{\circ}}{144}$

Выполним вычисления:

$\alpha = \frac{2160^{\circ}}{144}$

$\alpha = 15^{\circ}$

Ответ: $15^{\circ}$

257. Площадь сектора равна $\frac{5\pi}{4}$ см$^2$, а градусная мера дуги этого сектора составляет $75^\circ$. Найдите радиус круга, частью которого является данный сектор.

Для нахождения радиуса круга воспользуемся формулой площади кругового сектора, если его центральный угол задан в градусах:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}$

где $S_{сектора}$ — это площадь сектора, $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — градусная мера дуги сектора.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

$S_{сектора} = \frac{5\pi}{4}$ см²

$\alpha = 75^{\circ}$

Подставим эти значения в формулу:

$\frac{5\pi}{4} = \frac{\pi R^2 \cdot 75}{360}$

Чтобы найти радиус $R$, нам нужно решить это уравнение. Сначала можно сократить $\pi$ в обеих частях уравнения:

$\frac{5}{4} = \frac{75 R^2}{360}$

Теперь выразим $R^2$:

$R^2 = \frac{5}{4} \cdot \frac{360}{75}$

Упростим полученное выражение. Сократим дробь $\frac{360}{75}$. Можно заметить, что оба числа делятся на 15 ($75 = 5 \cdot 15$, $360 = 24 \cdot 15$):

$\frac{360}{75} = \frac{24}{5}$

Подставим сокращенную дробь обратно в уравнение для $R^2$:

$R^2 = \frac{5}{4} \cdot \frac{24}{5}$

Сократим множитель 5 в числителе и знаменателе:

$R^2 = \frac{24}{4}$

$R^2 = 6$

Чтобы найти радиус $R$, извлечем квадратный корень из 6. Поскольку радиус является длиной, он должен быть положительным числом.

$R = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$ см.

258. Может ли сектор круга быть его сегментом?

Да, сектор круга может быть его сегментом. Рассмотрим, при каких условиях это возможно.

По определению, круговой сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. В свою очередь, круговой сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и хордой, соединяющей концы этой дуги.

Чтобы сектор совпадал с сегментом, их границы должны быть идентичны. Это означает, что два радиуса, ограничивающие сектор, должны вместе образовывать хорду, которая ограничивает сегмент.

Два радиуса, выходящие из центра, образуют одну прямую линию (то есть хорду) только в том случае, если угол между ними равен $180^\circ$. Такая хорда, проходящая через центр, является диаметром круга.

Фигура, ограниченная диаметром и половиной окружности, является полукругом. Полукруг соответствует определению сектора (с центральным углом $180^\circ$) и одновременно соответствует определению сегмента (отсекаемого хордой, являющейся диаметром).

Следовательно, сектор круга может быть его сегментом, если этот сектор — полукруг.

Ответ: Да, может, в том случае, когда сектор является полукругом (то есть его центральный угол равен $180^\circ$).

259. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен $5 \text{ см}$, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $45^\circ$;

2) $330^\circ$.

Площадь кругового сегмента ($S_{сегм}$) вычисляется через площадь соответствующего кругового сектора ($S_{сект}$) и площадь равнобедренного треугольника ($S_{\triangle}$), образованного двумя радиусами и хордой, стягивающей дугу сегмента.

Дано: радиус круга $R = 5$ см.

Общие формулы для вычислений:

• Площадь кругового сектора: $S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$, где $\alpha$ — градусная мера дуги.
• Площадь треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin\beta$, где $\beta$ — центральный угол между радиусами.

В зависимости от величины дуги $\alpha$ площадь сегмента находится по-разному:

• Если дуга меньше 180° (меньший сегмент), площадь равна разности площадей сектора и треугольника: $S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle}$.
• Если дуга больше 180° (больший сегмент), площадь равна сумме площадей сектора и треугольника: $S_{сегм} = S_{сект} + S_{\triangle}$.

Поскольку $\alpha = 45^\circ < 180^\circ$, мы имеем дело с меньшим сегментом. Площадь вычисляется как разность площади сектора и площади треугольника.

1. Вычисляем площадь кругового сектора с углом $45^\circ$:
$S_{сект} = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 45^\circ}{360^\circ} = \frac{25\pi \cdot 1}{8} = \frac{25\pi}{8}$ (см²).

2. Вычисляем площадь треугольника, у которого две стороны равны радиусу $R=5$ см, а угол между ними составляет $45^\circ$:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 5^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{25\sqrt{2}}{4}$ (см²).

3. Находим площадь кругового сегмента:
$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{25\pi}{8} - \frac{25\sqrt{2}}{4} = \frac{25\pi - 2 \cdot 25\sqrt{2}}{8} = \frac{25\pi - 50\sqrt{2}}{8} = \frac{25}{8}(\pi - 2\sqrt{2})$ (см²).

Ответ: $\frac{25}{8}(\pi - 2\sqrt{2}) \text{ см}^2$.

Поскольку $\alpha = 330^\circ > 180^\circ$, мы имеем дело с большим сегментом. Его площадь равна сумме площади соответствующего (большего) сектора и площади треугольника. Центральный угол для треугольника будет $\beta = 360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$.

1. Вычисляем площадь кругового сектора с углом $330^\circ$:
$S_{сект} = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 330^\circ}{360^\circ} = \frac{25\pi \cdot 33}{36} = \frac{25\pi \cdot 11}{12} = \frac{275\pi}{12}$ (см²).

2. Вычисляем площадь треугольника с углом $\beta = 30^\circ$ между радиусами:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 5^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{4}$ (см²).

3. Находим площадь кругового сегмента:
$S_{сегм} = S_{сект} + S_{\triangle} = \frac{275\pi}{12} + \frac{25}{4} = \frac{275\pi}{12} + \frac{25 \cdot 3}{12} = \frac{275\pi + 75}{12} = \frac{25(11\pi + 3)}{12}$ (см²).

Ответ: $\frac{25(11\pi + 3)}{12} \text{ см}^2$.

260. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 2 см, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) 60°; 2) 300°.

Площадь кругового сегмента ($S_{сегмента}$) вычисляется как разность площади соответствующего кругового сектора ($S_{сектора}$) и площади треугольника ($S_{\triangle}$), образованного радиусами и хордой, стягивающей дугу сегмента.

Общая формула для площади сегмента, соответствующего центральному углу $\alpha$ в круге радиусом $R$:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2}R^2 \sin\alpha$

В данной задаче радиус круга $R = 2$ см.

1)

Найдем площадь кругового сегмента для дуги с градусной мерой $\alpha = 60^{\circ}$.

Сначала вычислим площадь кругового сектора:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 60}{360} = \frac{4\pi \cdot 60}{360} = \frac{240\pi}{360} = \frac{2\pi}{3}$ см².

Затем вычислим площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Угол между радиусами равен центральному углу $\alpha = 60^{\circ}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см².

Теперь найдем площадь кругового сегмента:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$ см².

Ответ: $(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3})$ см².

2)

Найдем площадь кругового сегмента для дуги с градусной мерой $\alpha = 300^{\circ}$.

Сначала вычислим площадь кругового сектора:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 300}{360} = \frac{4\pi \cdot 300}{360} = \frac{1200\pi}{360} = \frac{10\pi}{3}$ см².

Затем вычислим площадь треугольника, используя общую формулу. Угол $\alpha = 300^{\circ}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin 300^{\circ} = 2 \cdot (-\sin 60^{\circ}) = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$ см².

Теперь найдем площадь кругового сегмента, подставив найденные значения в общую формулу:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{10\pi}{3} - (-\sqrt{3}) = \frac{10\pi}{3} + \sqrt{3}$ см².

Этот результат можно также получить, сложив площадь "большого" сектора ($300^{\circ}$) и площадь треугольника, соответствующего "малому" сектору ($360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ}$), так как сегмент с дугой больше $180^{\circ}$ является суммой сектора и треугольника.

Ответ: $(\frac{10\pi}{3} + \sqrt{3})$ см².

261. Колёса автомобиля имеют диаметр 65 см. Автомобиль едет с такой скоростью, что колёса делают ежесекундно 6 оборотов. Найдите скорость автомобиля в километрах в час. Ответ округлите до десятых.

Сначала найдем длину окружности колеса. Длина окружности (расстояние, проходимое за один оборот) вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр колеса.

По условию, диаметр $d = 65$ см.Тогда длина окружности колеса равна:$C = 65\pi$ см.

Автомобиль едет с такой скоростью, что колёса делают 6 оборотов в секунду. Чтобы найти расстояние, которое автомобиль проезжает за одну секунду (т.е. его скорость в см/с), нужно длину окружности колеса умножить на количество оборотов в секунду.

Скорость $v = 6 \times C = 6 \times 65\pi = 390\pi$ см/с.

Теперь необходимо перевести скорость из сантиметров в секунду (см/с) в километры в час (км/ч).

Мы знаем, что:

• в 1 километре 100 000 сантиметров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \times 100 \text{ см} = 100000 \text{ см}$);
• в 1 часе 3600 секунд ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин} = 60 \times 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$).

Для перевода см/с в км/ч используем следующую формулу:

$v \text{ (км/ч)} = v \text{ (см/с)} \times \frac{3600}{100000}$

Подставим наше значение скорости:

$v = 390\pi \times \frac{3600}{100000} = 390\pi \times 0.036 = 14.04\pi$ км/ч.

Теперь вычислим числовое значение, приняв $\pi \approx 3.14159$:

$v \approx 14.04 \times 3.14159 \approx 44.1279$ км/ч.

По условию задачи, ответ необходимо округлить до десятых. Вторая цифра после запятой — 2. Так как $2 < 5$, то округляем в меньшую сторону (отбрасываем все цифры после десятых).

$v \approx 44.1$ км/ч.

Ответ: 44,1

262. Найдите длину дуги, которую описывает часовая стрелка длиной 6 см за 1 ч.

Конец часовой стрелки движется по окружности, радиус которой равен длине самой стрелки. Таким образом, радиус окружности $r = 6$ см.

За 12 часов часовая стрелка совершает полный оборот, что составляет $360^\circ$. Чтобы найти, на какой угол поворачивается стрелка за 1 час, необходимо разделить полный угол на 12.

Угловое перемещение за 1 час: $\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$.

Длина дуги $L$ окружности с радиусом $r$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах) вычисляется по формуле:

$L = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$

Подставим в формулу известные значения $r=6$ см и $\alpha=30^\circ$:

$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 30}{180} = \frac{180\pi}{180} = \pi$ см.

Альтернативный способ:

Можно вычислить полную длину окружности $C = 2\pi r$, а затем найти ее часть, соответствующую 1 часу из 12.

$C = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi$ см.

За 1 час стрелка проходит $\frac{1}{12}$ часть окружности.

$L = C \cdot \frac{1}{12} = 12\pi \cdot \frac{1}{12} = \pi$ см.

Ответ: $\pi$ см.

263. Найдите длину дуги, которую описывает минутная стрелка длиной 24 см за 40 мин.

Минутная стрелка часов при своем движении описывает окружность. Длина этой стрелки является радиусом данной окружности. Нам нужно найти длину дуги, которую проходит конец стрелки за определенное время.

Исходные данные:
Длина минутной стрелки, которая является радиусом окружности: $r = 24$ см.
Время движения стрелки: $t = 40$ мин.

1. Определение угла поворота стрелки
Минутная стрелка совершает полный оборот (360 градусов или $2\pi$ радиан) за 60 минут. Чтобы найти, на какой угол она повернется за 40 минут, нужно определить, какую часть полного оборота составляют 40 минут.
Часть оборота = $\frac{40 \text{ мин}}{60 \text{ мин}} = \frac{2}{3}$.
Теперь найдем величину этого угла в радианах. Угол полного оборота равен $2\pi$ радиан. Угол $\alpha$, который опишет стрелка, равен:
$\alpha = \frac{2}{3} \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ радиан.

2. Вычисление длины дуги
Длина дуги $L$ окружности вычисляется по формуле $L = \alpha \cdot r$, где $\alpha$ — центральный угол в радианах, а $r$ — радиус окружности.
Подставим известные значения в формулу:
$L = \frac{4\pi}{3} \cdot 24$
Сократим 24 и 3:
$L = 4\pi \cdot \frac{24}{3} = 4\pi \cdot 8$
$L = 32\pi$ см.

Ответ: $32\pi$ см.

264. Радиус окружности увеличили на $a$. Докажите, что длина окружности увеличится на величину, не зависящую от радиуса данной окружности.

Пусть первоначальный радиус окружности равен $R$. Тогда её длина, назовем её $C_1$, вычисляется по формуле: $C_1 = 2 \pi R$.
По условию задачи, радиус увеличили на величину $a$. Новый радиус, назовем его $R'$, будет равен $R' = R + a$.
Соответственно, новая длина окружности, назовем её $C_2$, будет равна: $C_2 = 2 \pi R' = 2 \pi (R + a)$.
Чтобы найти величину, на которую увеличилась длина окружности, необходимо найти разность между новой и старой длинами:
$\Delta C = C_2 - C_1$
Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$:
$\Delta C = 2 \pi (R + a) - 2 \pi R$
Раскроем скобки и выполним преобразования:
$\Delta C = 2 \pi R + 2 \pi a - 2 \pi R$
$\Delta C = 2 \pi a$
Полученное выражение для увеличения длины окружности, равное $2 \pi a$, зависит только от константы $\pi$ и от величины $a$, на которую был увеличен радиус. Первоначальный радиус $R$ в это выражение не входит. Таким образом, доказано, что длина окружности увеличится на величину, не зависящую от радиуса данной окружности.
Ответ: Длина окружности увеличится на величину $2 \pi a$, которая не зависит от первоначального радиуса окружности.

265. Сторона треугольника равна 6 см, а прилежащие к ней углы равны $50^{\circ}$ и $100^{\circ}$. Найдите длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность.

Пусть дан треугольник $ABC$, у которого сторона $c$ (лежащая напротив угла $C$) равна 6 см, а прилежащие к ней углы $\angle A = 50^\circ$ и $\angle B = 100^\circ$.

1. Найдем третий угол треугольника.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, третий угол $C$ равен:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (50^\circ + 100^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

2. Найдем радиус описанной окружности.
Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Используем известную сторону $c=6$ см и противолежащий ей угол $\angle C = 30^\circ$:
$2R = \frac{c}{\sin C} = \frac{6}{\sin 30^\circ}$
Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$2R = \frac{6}{1/2} = 12$ см.
Отсюда радиус описанной окружности $R = 6$ см.

3. Найдем градусные меры дуг.
Вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ делят описанную окружность на три дуги: $AB$, $BC$ и $AC$. Градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, в два раза больше этого угла.

• Дуга $BC$, на которую опирается вписанный угол $\angle A$, имеет градусную меру:
  $\cup BC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.
• Дуга $AC$, на которую опирается вписанный угол $\angle B$, имеет градусную меру:
  $\cup AC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 100^\circ = 200^\circ$.
• Дуга $AB$, на которую опирается вписанный угол $\angle C$, имеет градусную меру:
  $\cup AB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

4. Найдем длины дуг.
Длина дуги $l$ с градусной мерой $\alpha$ и радиусом $R$ вычисляется по формуле:
$l = 2\pi R \frac{\alpha}{360^\circ}$.

• Длина дуги, соответствующей углу $100^\circ$:
  $l_1 = 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{100^\circ}{360^\circ} = 12\pi \cdot \frac{10}{36} = 12\pi \cdot \frac{5}{18} = \frac{10\pi}{3}$ см.
• Длина дуги, соответствующей углу $200^\circ$:
  $l_2 = 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{200^\circ}{360^\circ} = 12\pi \cdot \frac{20}{36} = 12\pi \cdot \frac{5}{9} = \frac{20\pi}{3}$ см.
• Длина дуги, соответствующей углу $60^\circ$:
  $l_3 = 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{60^\circ}{360^\circ} = 12\pi \cdot \frac{1}{6} = 2\pi$ см.

Ответ: длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную окружность, равны $2\pi$ см, $\frac{10\pi}{3}$ см и $\frac{20\pi}{3}$ см.

266. Сторона треугольника равна $5\sqrt{3}$ см, а прилежащие к ней углы равны $35^\circ$ и $25^\circ$. Найдите длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB = 5\sqrt{3}$ см, а прилежащие к ней углы $\angle A = 35^\circ$ и $\angle B = 25^\circ$. Необходимо найти длины дуг $AB$, $BC$ и $AC$ описанной около треугольника окружности.

1. Сначала найдём третий угол треугольника, $\angle C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (35^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

2. Теперь найдём радиус $R$ описанной окружности, используя теорему синусов. Согласно теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

Подставим известные значения. Нам понадобится значение $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2R = \frac{5\sqrt{3}}{\sin 120^\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 10$ см.

Отсюда находим радиус: $R = \frac{10}{2} = 5$ см.

3. Вершины треугольника делят окружность на три дуги. Градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, вдвое больше этого угла. Таким образом, мы можем найти градусные меры дуг, соответствующих каждому углу треугольника:

• Градусная мера дуги $BC$, на которую опирается угол $\angle A = 35^\circ$, равна $2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$.
• Градусная мера дуги $AC$, на которую опирается угол $\angle B = 25^\circ$, равна $2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$.
• Градусная мера дуги $AB$, на которую опирается угол $\angle C = 120^\circ$, равна $2 \cdot 120^\circ = 240^\circ$.

4. Наконец, вычислим длины этих дуг по формуле длины дуги $L = \frac{2\pi R \cdot \alpha}{360^\circ}$, где $\alpha$ — градусная мера дуги.

• Длина дуги $BC$: $L_{BC} = \frac{2\pi \cdot 5 \cdot 70}{360} = \frac{700\pi}{360} = \frac{35\pi}{18}$ см.
• Длина дуги $AC$: $L_{AC} = \frac{2\pi \cdot 5 \cdot 50}{360} = \frac{500\pi}{360} = \frac{25\pi}{18}$ см.
• Длина дуги $AB$: $L_{AB} = \frac{2\pi \cdot 5 \cdot 240}{360} = \frac{2400\pi}{360} = \frac{20\pi}{3}$ см.

Ответ: длины дуг равны $\frac{25\pi}{18}$ см, $\frac{35\pi}{18}$ см и $\frac{20\pi}{3}$ см.

267. На катете $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику, если $\angle A = 24^\circ$, $AC = 20$ см.

По условию, дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. На катете $AC$ как на диаметре построена окружность. Нам известны $\angle A = 24^\circ$ и длина катета $AC = 20$ см.

Так как катет $AC$ является диаметром окружности, ее радиус $r$ равен половине длины $AC$: $r = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Центр окружности, обозначим его точкой $O$, является серединой отрезка $AC$. Окружность пересекает гипотенузу $AB$ в некоторой точке, которую мы назовем $D$. Дуга окружности, которая находится внутри треугольника, это дуга $CD$. Нам необходимо найти ее длину.

Длина дуги окружности вычисляется по формуле $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$, где $r$ - радиус окружности, а $\alpha$ - градусная мера центрального угла, стягивающего эту дугу. В нашем случае это угол $\angle COD$.

Угол $\angle CAD$ (который равен углу $\angle A$ треугольника $ABC$) является вписанным в окружность и опирается на дугу $CD$. По условию $\angle CAD = 24^\circ$.

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла. Таким образом, мы можем найти градусную меру угла $\angle COD$: $\angle COD = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 24^\circ = 48^\circ$.

Теперь, зная радиус $r = 10$ см и центральный угол $\alpha = \angle COD = 48^\circ$, мы можем вычислить длину дуги $CD$: $L_{CD} = \frac{48^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 10$ см.

Упростим выражение. Сначала сократим дробь $\frac{48}{360}$: $\frac{48}{360} = \frac{48 \div 48}{360 \div 48} = \frac{1}{7.5}$ (неудобно) $\frac{48}{360} = \frac{4 \cdot 12}{30 \cdot 12} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.

Подставим сокращенную дробь обратно в формулу: $L_{CD} = \frac{2}{15} \cdot 20\pi = \frac{40\pi}{15}$ см.

Сократим полученную дробь на 5: $L_{CD} = \frac{40\pi \div 5}{15 \div 5} = \frac{8\pi}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8\pi}{3}$ см.

268. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $70^\circ$. На высоте треугольника, проведённой к основанию и равной 27 см, как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги окружности, принадлежащей треугольнику.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, в котором боковые стороны $AB$ и $BC$ равны. Углы при основании, по условию, равны $\angle BAC = \angle BCA = 70^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол при вершине $B$:$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Проведена высота $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Следовательно, $BH$ делит угол $\angle ABC$ на два равных угла:$\angle ABH = \angle CBH = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.

На высоте $BH$ как на диаметре построена окружность. Длина диаметра $d = BH = 27$ см. Радиус этой окружности $r$ равен половине диаметра:$r = \frac{d}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$ см.Пусть $O$ — центр окружности, который является серединой высоты $BH$.

Окружность пересекает боковые стороны треугольника $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Дуга окружности, которая принадлежит треугольнику, — это дуга $MN$. Для нахождения ее длины нам необходимо определить величину соответствующего ей центрального угла $\angle MON$.

Рассмотрим точку $M$, которая является точкой пересечения окружности и стороны $AB$. Так как точки $B$, $M$ и $H$ лежат на окружности, а отрезок $BH$ является ее диаметром, то вписанный угол $\angle BMH$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHM$ (с прямым углом при вершине $M$). Мы знаем, что $\angle HBM = \angle ABH = 20^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:$\angle BHM = 90^\circ - \angle HBM = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$.

Рассмотрим треугольник $OMH$. Его стороны $OM$ и $OH$ являются радиусами окружности, поэтому $OM = OH = r = 13.5$ см. Это означает, что треугольник $OMH$ является равнобедренным.В равнобедренном треугольнике $OMH$ углы при основании $MH$ равны: $\angle OMH = \angle OHM$.Мы уже нашли, что $\angle OHM = \angle BHM = 70^\circ$, следовательно, $\angle OMH$ также равен $70^\circ$.Тогда угол при вершине $O$ в треугольнике $OMH$ равен:$\angle MOH = 180^\circ - (\angle OMH + \angle OHM) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

В силу симметрии задачи относительно высоты $BH$, для треугольника $ONH$ мы получим аналогичный результат: $\angle NOH = 40^\circ$.

Центральный угол $\angle MON$, стягивающий искомую дугу $MN$, равен сумме углов $\angle MOH$ и $\angle NOH$:$\angle MON = \angle MOH + \angle NOH = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ$.

Теперь мы можем найти длину дуги $L$ по формуле длины дуги окружности:$L = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$, где $r$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера центрального угла.Подставляем наши значения $r = 13.5$ см и $\alpha = 80^\circ$:$L = \frac{\pi \cdot 13.5 \cdot 80}{180} = \frac{\pi \cdot \frac{27}{2} \cdot 80}{180} = \frac{\pi \cdot 27 \cdot 40}{180} = \frac{\pi \cdot 27}{4.5} = 6\pi$ см.

Ответ: $6\pi$ см.