Номер 259, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

259. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен $5 \text{ см}$, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $45^\circ$;

2) $330^\circ$.

Площадь кругового сегмента ($S_{сегм}$) вычисляется через площадь соответствующего кругового сектора ($S_{сект}$) и площадь равнобедренного треугольника ($S_{\triangle}$), образованного двумя радиусами и хордой, стягивающей дугу сегмента.

Дано: радиус круга $R = 5$ см.

Общие формулы для вычислений:

• Площадь кругового сектора: $S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$, где $\alpha$ — градусная мера дуги.
• Площадь треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin\beta$, где $\beta$ — центральный угол между радиусами.

В зависимости от величины дуги $\alpha$ площадь сегмента находится по-разному:

• Если дуга меньше 180° (меньший сегмент), площадь равна разности площадей сектора и треугольника: $S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle}$.
• Если дуга больше 180° (больший сегмент), площадь равна сумме площадей сектора и треугольника: $S_{сегм} = S_{сект} + S_{\triangle}$.

Поскольку $\alpha = 45^\circ < 180^\circ$, мы имеем дело с меньшим сегментом. Площадь вычисляется как разность площади сектора и площади треугольника.

1. Вычисляем площадь кругового сектора с углом $45^\circ$:
$S_{сект} = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 45^\circ}{360^\circ} = \frac{25\pi \cdot 1}{8} = \frac{25\pi}{8}$ (см²).

2. Вычисляем площадь треугольника, у которого две стороны равны радиусу $R=5$ см, а угол между ними составляет $45^\circ$:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 5^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{25\sqrt{2}}{4}$ (см²).

3. Находим площадь кругового сегмента:
$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{25\pi}{8} - \frac{25\sqrt{2}}{4} = \frac{25\pi - 2 \cdot 25\sqrt{2}}{8} = \frac{25\pi - 50\sqrt{2}}{8} = \frac{25}{8}(\pi - 2\sqrt{2})$ (см²).

Ответ: $\frac{25}{8}(\pi - 2\sqrt{2}) \text{ см}^2$.

Поскольку $\alpha = 330^\circ > 180^\circ$, мы имеем дело с большим сегментом. Его площадь равна сумме площади соответствующего (большего) сектора и площади треугольника. Центральный угол для треугольника будет $\beta = 360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$.

1. Вычисляем площадь кругового сектора с углом $330^\circ$:
$S_{сект} = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 330^\circ}{360^\circ} = \frac{25\pi \cdot 33}{36} = \frac{25\pi \cdot 11}{12} = \frac{275\pi}{12}$ (см²).

2. Вычисляем площадь треугольника с углом $\beta = 30^\circ$ между радиусами:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 5^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{4}$ (см²).

3. Находим площадь кругового сегмента:
$S_{сегм} = S_{сект} + S_{\triangle} = \frac{275\pi}{12} + \frac{25}{4} = \frac{275\pi}{12} + \frac{25 \cdot 3}{12} = \frac{275\pi + 75}{12} = \frac{25(11\pi + 3)}{12}$ (см²).

Ответ: $\frac{25(11\pi + 3)}{12} \text{ см}^2$.