Номер 266, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

266. Сторона треугольника равна $5\sqrt{3}$ см, а прилежащие к ней углы равны $35^\circ$ и $25^\circ$. Найдите длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB = 5\sqrt{3}$ см, а прилежащие к ней углы $\angle A = 35^\circ$ и $\angle B = 25^\circ$. Необходимо найти длины дуг $AB$, $BC$ и $AC$ описанной около треугольника окружности.

1. Сначала найдём третий угол треугольника, $\angle C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (35^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

2. Теперь найдём радиус $R$ описанной окружности, используя теорему синусов. Согласно теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

Подставим известные значения. Нам понадобится значение $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2R = \frac{5\sqrt{3}}{\sin 120^\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 10$ см.

Отсюда находим радиус: $R = \frac{10}{2} = 5$ см.

3. Вершины треугольника делят окружность на три дуги. Градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, вдвое больше этого угла. Таким образом, мы можем найти градусные меры дуг, соответствующих каждому углу треугольника:

• Градусная мера дуги $BC$, на которую опирается угол $\angle A = 35^\circ$, равна $2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$.
• Градусная мера дуги $AC$, на которую опирается угол $\angle B = 25^\circ$, равна $2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$.
• Градусная мера дуги $AB$, на которую опирается угол $\angle C = 120^\circ$, равна $2 \cdot 120^\circ = 240^\circ$.

4. Наконец, вычислим длины этих дуг по формуле длины дуги $L = \frac{2\pi R \cdot \alpha}{360^\circ}$, где $\alpha$ — градусная мера дуги.

• Длина дуги $BC$: $L_{BC} = \frac{2\pi \cdot 5 \cdot 70}{360} = \frac{700\pi}{360} = \frac{35\pi}{18}$ см.
• Длина дуги $AC$: $L_{AC} = \frac{2\pi \cdot 5 \cdot 50}{360} = \frac{500\pi}{360} = \frac{25\pi}{18}$ см.
• Длина дуги $AB$: $L_{AB} = \frac{2\pi \cdot 5 \cdot 240}{360} = \frac{2400\pi}{360} = \frac{20\pi}{3}$ см.

Ответ: длины дуг равны $\frac{25\pi}{18}$ см, $\frac{35\pi}{18}$ см и $\frac{20\pi}{3}$ см.