Номер 273, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

273. В круг вписан квадрат со стороной $a$. Найдите площадь меньшего из сегментов, основанием которых является сторона квадрата.

Площадь искомого сегмента можно найти, если из площади кругового сектора, опирающегося на сторону квадрата, вычесть площадь треугольника, образованного этой стороной и двумя радиусами, проведенными к ее концам.

1. Сначала определим радиус $R$ окружности. Диагональ вписанного квадрата является диаметром этой окружности. По теореме Пифагора найдем диагональ $d$ квадрата со стороной $a$:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a\sqrt{2}$.
Диаметр окружности равен диагонали квадрата, $D = d = a\sqrt{2}$.
Следовательно, радиус окружности $R = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Теперь найдем площадь соответствующего кругового сектора $S_{сект}$. Вершины квадрата делят окружность на четыре равные дуги. Центральный угол $\alpha$, стягиваемый каждой стороной квадрата, равен:
$\alpha = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.
Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$. Подставим наши значения:
$S_{сект} = \frac{\pi \cdot (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 \cdot 90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{a^2 \cdot 2}{4}\right) = \frac{1}{4} \pi \frac{a^2}{2} = \frac{\pi a^2}{8}$.

3. Далее вычислим площадь треугольника $S_{\triangle}$, который отсекается стороной квадрата. Этот треугольник образован двумя радиусами и стороной квадрата. Так как угол между радиусами равен $90^\circ$, это равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты которого равны радиусу $R$. Его площадь равна:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R \cdot R = \frac{1}{2} R^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$.

4. Наконец, найдем площадь сегмента $S_{сегм}$ как разность площади сектора и площади треугольника:
$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4}$.
Приведем к общему знаменателю:
$S_{сегм} = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{2a^2}{8} = \frac{\pi a^2 - 2a^2}{8} = \frac{a^2(\pi - 2)}{8}$.

Ответ: $\frac{a^2(\pi - 2)}{8}$