Номер 280, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

280. Два квадрата со сторонами 1 см имеют общий центр (рис. 63). Докажите, что площадь их общей части больше, чем $\frac{\pi}{4}$.

Рис. 61

Рис. 62

Рис. 63

Пусть даны два квадрата со стороной $a=1$ см и общим центром $O$. Обозначим их $S_1$ и $S_2$. Требуется доказать, что площадь их общей части (пересечения), которую обозначим $A_{общ}$, больше, чем $\frac{\pi}{4}$.

Рассмотрим круг $C$, вписанный в один из квадратов, например, в $S_1$. Центр этого круга совпадает с центром квадрата $O$, а его радиус $r$ равен половине стороны квадрата:$r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Площадь этого круга $A_C$ вычисляется по формуле $A_C = \pi r^2$. Подставив значение радиуса, получим:$A_C = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}$ см$^2$.

По определению вписанного круга, все его точки лежат внутри квадрата $S_1$. Это означает, что круг $C$ является подмножеством квадрата $S_1$, то есть $C \subset S_1$.

Теперь рассмотрим второй квадрат, $S_2$. Он также имеет сторону длиной 1 см и центр в точке $O$. Круг $C$ с центром $O$ и радиусом $r = 1/2$ см является вписанным и для квадрата $S_2$, независимо от его ориентации. Это так, потому что расстояние от центра $O$ до любой из сторон квадрата $S_2$ равно $\frac{1}{2}$ см. Любая точка $P$, принадлежащая кругу $C$, удалена от центра $O$ на расстояние, не превышающее радиус $r=\frac{1}{2}$ см. Так как минимальное расстояние от центра $O$ до границы квадрата $S_2$ равно $\frac{1}{2}$ см, то любая точка круга $C$ также лежит внутри квадрата $S_2$. Следовательно, $C \subset S_2$.

Поскольку круг $C$ содержится как в квадрате $S_1$, так и в квадрате $S_2$, он должен содержаться и в их общей части (пересечении). Таким образом:$C \subset (S_1 \cap S_2)$.

Из этого следует, что площадь общей части $A_{общ}$ не может быть меньше площади круга $A_C$:$A_{общ} \ge A_C = \frac{\pi}{4}$.

Для доказательства строгого неравенства ($A_{общ} > \frac{\pi}{4}$) заметим, что общая часть двух квадратов представляет собой выпуклый многоугольник (восьмиугольник, если квадраты повернуты друг относительно друга, или квадрат, если они совпадают). Многоугольник не может быть кругом, так как его граница состоит из отрезков прямых, а не из кривой. Следовательно, область пересечения $S_1 \cap S_2$ не совпадает с кругом $C$. Поскольку круг $C$ полностью содержится в области пересечения, но не совпадает с ней, площадь пересечения должна быть строго больше площади круга.

Таким образом, мы доказали, что $A_{общ} > \frac{\pi}{4}$.

Ответ: Доказано, что площадь общей части больше, чем $\frac{\pi}{4}$.