Номер 275, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

275. В круг вписан правильный треугольник со стороной $a$. Найдите площадь меньшего из сегментов, основанием которых является сторона треугольника.

Площадь искомого сегмента можно найти как разность площади кругового сектора и площади равнобедренного треугольника, которые опираются на одну и ту же хорду — сторону правильного треугольника $a$. Каждая сторона правильного треугольника отсекает от описанной окружности два сегмента. Поскольку центр окружности лежит внутри треугольника, меньший сегмент — это тот, который не содержит центр окружности.

1. Сначала найдем радиус $R$ окружности, в которую вписан правильный треугольник. Сторона такого треугольника связана с радиусом описанной окружности $R$ известным соотношением $a = R\sqrt{3}$. Отсюда можно выразить радиус окружности через сторону треугольника:$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

2. Далее определим центральный угол, который опирается на сторону вписанного правильного треугольника. Весь круг составляет $360^\circ$, и так как треугольник правильный, его стороны делят окружность на три равные дуги. Следовательно, центральный угол $\alpha$, опирающийся на одну сторону, равен:$\alpha = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

3. Теперь вычислим площадь кругового сектора $S_{сект}$, ограниченного двумя радиусами и дугой, стягиваемой стороной $a$. Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сект} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2$.Подставим наши значения:$S_{сект} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{1}{3} \pi R^2$.Теперь подставим выражение для радиуса $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$:$S_{сект} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a^2 \cdot 3}{9}\right) = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{3} = \frac{\pi a^2}{9}$.

4. Найдем площадь треугольника $S_{\triangle}$, образованного двумя радиусами и стороной $a$. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $R$, и углом между ними $\alpha = 120^\circ$. Его площадь можно найти по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} R^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$.Подставим сюда выражение для радиуса:$S_{\triangle} = \frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{3a^2}{9} \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{3} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{12}$.

5. Наконец, площадь меньшего сегмента $S_{сегм}$ равна разности площади сектора и площади треугольника:$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{\pi a^2}{9} - \frac{a^2\sqrt{3}}{12}$.Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 36:$S_{сегм} = \frac{4 \cdot \pi a^2}{36} - \frac{3 \cdot a^2\sqrt{3}}{36} = \frac{4\pi a^2 - 3a^2\sqrt{3}}{36} = \frac{a^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{36}$.

Ответ: $\frac{a^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{36}$.