Номер 269, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

269. Отрезок $AB$ разбили на $n$ отрезков. На каждом из них как на диаметре построили полуокружность. Это действие повторили, разбив данный отрезок на $m$ отрезков. Найдите отношение сумм длин полуокружностей, полученных в первом и втором случаях.

Пусть длина исходного отрезка $AB$ равна $L$.

Рассмотрим первый случай, когда отрезок $AB$ разбит на $n$ отрезков. Обозначим длины этих отрезков как $l_1, l_2, \ldots, l_n$. Сумма длин этих маленьких отрезков равна длине всего отрезка $AB$: $$l_1 + l_2 + \ldots + l_n = \sum_{i=1}^{n} l_i = L$$ Длина полуокружности с диаметром $d$ вычисляется по формуле $C = \frac{\pi d}{2}$. На каждом отрезке $l_i$ как на диаметре построена полуокружность. Найдем сумму длин $S_n$ всех этих $n$ полуокружностей: $$S_n = \frac{\pi l_1}{2} + \frac{\pi l_2}{2} + \ldots + \frac{\pi l_n}{2}$$ Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{2}$ за скобки: $$S_n = \frac{\pi}{2} (l_1 + l_2 + \ldots + l_n)$$ Поскольку мы знаем, что $l_1 + l_2 + \ldots + l_n = L$, мы можем подставить это значение в формулу: $$S_n = \frac{\pi L}{2}$$

Теперь рассмотрим второй случай, когда отрезок $AB$ разбит на $m$ отрезков. Обозначим их длины как $d_1, d_2, \ldots, d_m$. Сумма их длин также равна $L$: $$d_1 + d_2 + \ldots + d_m = \sum_{j=1}^{m} d_j = L$$ Сумма длин $S_m$ полуокружностей, построенных на этих отрезках, вычисляется аналогично: $$S_m = \frac{\pi d_1}{2} + \frac{\pi d_2}{2} + \ldots + \frac{\pi d_m}{2}$$ Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{2}$ за скобки: $$S_m = \frac{\pi}{2} (d_1 + d_2 + \ldots + d_m)$$ Подставим значение суммы длин, равное $L$: $$S_m = \frac{\pi L}{2}$$

Для того чтобы найти отношение сумм длин полуокружностей, полученных в первом и втором случаях, разделим $S_n$ на $S_m$: $$\frac{S_n}{S_m} = \frac{\frac{\pi L}{2}}{\frac{\pi L}{2}}$$ Так как числитель и знаменатель равны одному и тому же ненулевому значению (поскольку $L$ — это длина отрезка, $L>0$), их отношение равно 1. $$\frac{S_n}{S_m} = 1$$ Таким образом, сумма длин полуокружностей не зависит от количества отрезков, на которые был разбит исходный отрезок.

Ответ: 1