Номер 260, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

260. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 2 см, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) 60°; 2) 300°.

Площадь кругового сегмента ($S_{сегмента}$) вычисляется как разность площади соответствующего кругового сектора ($S_{сектора}$) и площади треугольника ($S_{\triangle}$), образованного радиусами и хордой, стягивающей дугу сегмента.

Общая формула для площади сегмента, соответствующего центральному углу $\alpha$ в круге радиусом $R$:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2}R^2 \sin\alpha$

В данной задаче радиус круга $R = 2$ см.

1)

Найдем площадь кругового сегмента для дуги с градусной мерой $\alpha = 60^{\circ}$.

Сначала вычислим площадь кругового сектора:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 60}{360} = \frac{4\pi \cdot 60}{360} = \frac{240\pi}{360} = \frac{2\pi}{3}$ см².

Затем вычислим площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Угол между радиусами равен центральному углу $\alpha = 60^{\circ}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см².

Теперь найдем площадь кругового сегмента:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$ см².

Ответ: $(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3})$ см².

2)

Найдем площадь кругового сегмента для дуги с градусной мерой $\alpha = 300^{\circ}$.

Сначала вычислим площадь кругового сектора:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 300}{360} = \frac{4\pi \cdot 300}{360} = \frac{1200\pi}{360} = \frac{10\pi}{3}$ см².

Затем вычислим площадь треугольника, используя общую формулу. Угол $\alpha = 300^{\circ}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin 300^{\circ} = 2 \cdot (-\sin 60^{\circ}) = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$ см².

Теперь найдем площадь кругового сегмента, подставив найденные значения в общую формулу:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{10\pi}{3} - (-\sqrt{3}) = \frac{10\pi}{3} + \sqrt{3}$ см².

Этот результат можно также получить, сложив площадь "большого" сектора ($300^{\circ}$) и площадь треугольника, соответствующего "малому" сектору ($360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ}$), так как сегмент с дугой больше $180^{\circ}$ является суммой сектора и треугольника.

Ответ: $(\frac{10\pi}{3} + \sqrt{3})$ см².