Страница 89 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой вид имеет уравнение прямой на плоскости $xy$?

Уравнение прямой на плоскости xy может быть представлено в нескольких различных видах. Каждый вид удобен для решения определённого круга задач и использует разные параметры для задания прямой. Рассмотрим основные из них.

Общее уравнение прямой

Это наиболее универсальная форма записи, которая может описать любую прямую на плоскости. Она представляет собой линейное уравнение с двумя переменными x и y.

$Ax + By + C = 0$

Здесь A, B, C – некоторые действительные числа, причём коэффициенты A и B не могут быть равны нулю одновременно (т.е. $A^2 + B^2 \neq 0$). Вектор $\vec{n} = (A, B)$ является вектором нормали (перпендикуляром) к данной прямой.

Ответ: $Ax + By + C = 0$.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Эта форма очень часто используется в алгебре и анализе. Она явно выражает y через x и удобна для построения графика функции.

$y = kx + b$

В этом уравнении k – это угловой коэффициент, который равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (Ox). Коэффициент b – это ордината точки пересечения прямой с осью ординат (Oy), его также называют "свободный член" или y-перехват. Важно отметить, что в таком виде нельзя представить вертикальные прямые (параллельные оси Oy), для которых уравнение имеет вид $x = \text{const}$.

Ответ: $y = kx + b$.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если известны координаты двух различных точек $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, через которые проходит прямая, её уравнение можно записать в каноническом виде.

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Это уравнение выводится из подобия треугольников. Если $x_1 = x_2$, то прямая вертикальна и её уравнение $x = x_1$. Если $y_1 = y_2$, прямая горизонтальна и её уравнение $y = y_1$.

Ответ: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Уравнение прямой "в отрезках"

Эта форма удобна, когда известны точки пересечения прямой с осями координат.

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Здесь a – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox, а b – ордината точки пересечения с осью Oy. Эта форма не применима для прямых, проходящих через начало координат ($a=0$ или $b=0$), а также для прямых, параллельных одной из осей.

Ответ: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Нормальное уравнение прямой

Эта форма использует параметры, связанные с перпендикуляром, опущенным на прямую из начала координат.

$x \cos\alpha + y \sin\alpha - p = 0$

Здесь p – это длина этого перпендикуляра ($p \ge 0$), а $\alpha$ – угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ox.

Ответ: $x \cos\alpha + y \sin\alpha - p = 0$.

2. Как называют прямую, все точки которой имеют одинаковые абсциссы? Как расположена эта прямая относительно оси абсцисс?

Как называют прямую, все точки которой имеют одинаковые абсциссы?

Прямая, все точки которой имеют одинаковые абсциссы (координаты $x$), называется вертикальной прямой. Уравнение такой прямой в декартовой системе координат имеет вид $x = a$, где $a$ — это постоянное число, которому равны абсциссы всех точек этой прямой.

Ответ: вертикальная прямая.

Как расположена эта прямая относительно оси абсцисс?

Вертикальная прямая, заданная уравнением $x = a$, расположена перпендикулярно оси абсцисс (оси Ox). Она пересекает ось абсцисс в точке с координатами $(a, 0)$. При этом данная прямая параллельна оси ординат (оси Oy).

Ответ: перпендикулярно оси абсцисс.

3. Любое ли линейное уравнение с двумя переменными является уравнением прямой?

Нет, не любое линейное уравнение с двумя переменными является уравнением прямой.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$ следующий:
$ax + by + c = 0$
где $a$, $b$ и $c$ — это некоторые числа (коэффициенты).

Графиком этого уравнения на координатной плоскости является прямая линия только в том случае, если хотя бы один из коэффициентов при переменных, $a$ или $b$, не равен нулю. Это условие можно записать как $a^2 + b^2 \neq 0$.

Рассмотрим случаи, когда это условие выполняется:
1. Если $b \neq 0$, уравнение можно преобразовать к виду $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2. Если $b=0$ и $a \neq 0$, уравнение принимает вид $ax + c = 0$, или $x = -\frac{c}{a}$. Это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси OY.
3. Если $a=0$ и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $by + c = 0$, или $y = -\frac{c}{b}$. Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси OX.
Во всех этих случаях графиком уравнения является прямая.

Теперь рассмотрим вырожденный случай, когда оба коэффициента при переменных равны нулю: $a=0$ и $b=0$.
Уравнение $ax + by + c = 0$ превращается в $0 \cdot x + 0 \cdot y + c = 0$, что равносильно простому равенству $c = 0$.
Здесь возможны два варианта:
- Если $c$ действительно равно нулю ($c=0$), то мы получаем тождество $0=0$. Этому равенству удовлетворяет любая пара чисел $(x, y)$, а значит, графиком уравнения является вся координатная плоскость, а не прямая.
- Если $c$ не равно нулю ($c \neq 0$), то мы получаем неверное равенство (например, $5=0$). Такое уравнение не имеет решений, и его график — это пустое множество, что также не является прямой.

Ответ: Нет, не любое. Линейное уравнение $ax + by + c = 0$ является уравнением прямой только тогда, когда коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.

4. В каком виде удобно записывать уравнение невертикальной прямой?

Уравнение невертикальной прямой удобнее всего записывать в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Эта форма имеет вид:
$y = kx + b$

В этом уравнении $x$ и $y$ — это координаты произвольной точки, лежащей на прямой. Коэффициенты $k$ и $b$ имеют конкретный геометрический смысл, что и делает эту форму записи очень удобной:

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси Ox) и характеризует "крутизну" и направление прямой:
• если $k > 0$, то прямая возрастает (идет вверх при движении слева направо);
• если $k < 0$, то прямая убывает (идет вниз);
• если $k = 0$, то прямая горизонтальна (параллельна оси Ox).

Коэффициент $b$ — это свободный член. Он равен ординате точки, в которой прямая пересекает ось ординат (ось Oy). Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, b)$.

Преимущества такой формы записи:

1. Наглядность: Значения коэффициентов $k$ и $b$ позволяют мгновенно представить себе расположение и наклон прямой на координатной плоскости.

2. Простота построения: Для построения графика прямой достаточно отметить на оси Oy точку $(0, b)$ и, используя угловой коэффициент $k$ (как отношение "подъема" к "продвижению"), найти вторую точку.

3. Функциональное представление: Уравнение в этом виде представляет $y$ как явную линейную функцию от $x$, что удобно для вычислений и анализа.

Следует отметить, что в таком виде можно записать уравнение любой прямой, кроме вертикальной (вида $x = c$), у которой угловой коэффициент не определён. Поскольку вопрос касается именно невертикальных прямых, данная форма является наиболее подходящей.

Ответ: Уравнение невертикальной прямой удобно записывать в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

5. Любую ли прямую на плоскости можно задать уравнением вида $y = kx + p$?

Нет, не любую прямую на плоскости можно задать уравнением вида $y = kx + p$.

Данное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении коэффициент $k$ — это угловой коэффициент, который равен тангенсу угла $\alpha$ наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс ($k = \tan(\alpha)$), а $p$ — это ордината точки пересечения прямой с осью ординат (осью Oy).

Угловой коэффициент $k$ определён для всех углов, кроме угла $\alpha = 90^\circ$. Такой угол наклона имеют прямые, параллельные оси Oy, то есть вертикальные прямые. Для таких прямых тангенс угла наклона не существует, следовательно, они не имеют конечного углового коэффициента $k$. Уравнение вертикальной прямой, проходящей через точку $(c, 0)$, имеет вид $x = c$. В этом уравнении невозможно выразить $y$ как функцию от $x$.

Таким образом, уравнение $y = kx + p$ описывает все возможные прямые на плоскости, кроме вертикальных.

Для описания абсолютно любой прямой на плоскости, включая вертикальные, используется общее уравнение прямой: $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$ и $C$ — константы, причём $A$ и $B$ не равны нулю одновременно.

• Если $B \neq 0$, то уравнение можно преобразовать к виду $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$, что соответствует форме $y = kx + p$. Этот случай описывает все невертикальные прямые.
• Если $B = 0$ (и, соответственно, $A \neq 0$), то уравнение принимает вид $Ax + C = 0$, или $x = -\frac{C}{A}$. Это и есть уравнение вертикальной прямой.

Ответ: Нет, уравнением вида $y = kx + p$ нельзя задать вертикальные прямые (параллельные оси ординат), поскольку для таких прямых не существует углового коэффициента.

6. При каком условии уравнение прямой $ax + by = c$ является уравнением вертикальной прямой? Невертикальной прямой?

Вертикальная прямая

Общее уравнение прямой имеет вид $ax + by = c$.

Вертикальная прямая — это прямая, параллельная оси ординат (оси $Oy$). Все точки на такой прямой имеют одну и ту же абсциссу (координату $x$). Уравнение вертикальной прямой имеет вид $x = k$, где $k$ — некоторая константа.

Чтобы из общего уравнения $ax + by = c$ получить уравнение вида $x = k$, необходимо, чтобы слагаемое, содержащее переменную $y$, исчезло. Это произойдет, если коэффициент при $y$ будет равен нулю, то есть $b=0$.

При $b=0$ уравнение принимает вид $ax = c$.

Чтобы это уравнение задавало прямую, а не всю плоскость или пустое множество, коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Если бы $a=0$ и $b=0$, мы бы получили $0=c$, что либо является неверным равенством (если $c \neq 0$), либо тождеством, верным для любой точки плоскости (если $c=0$), но не уравнением прямой.

Следовательно, при $b=0$ и $a \neq 0$ мы можем разделить обе части уравнения на $a$ и получить $x = \frac{c}{a}$. Это и есть уравнение вертикальной прямой.

Ответ: Уравнение $ax + by = c$ является уравнением вертикальной прямой при условии, что $b=0$ и $a \neq 0$.

Невертикальная прямая

Невертикальная прямая — это любая прямая, не являющаяся вертикальной.

Как мы установили выше, прямая является вертикальной, когда $b=0$. Соответственно, чтобы прямая была невертикальной, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент $b$ не был равен нулю, то есть $b \neq 0$.

Если $b \neq 0$, мы можем выразить $y$ из уравнения $ax + by = c$:

$by = -ax + c$

$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$

Это уравнение вида $y = mx + k$ (уравнение прямой с угловым коэффициентом), где угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси $Ox$) равен $m = -\frac{a}{b}$. Любая прямая, у которой существует конечный угловой коэффициент, является невертикальной. Угловой коэффициент существует тогда, когда знаменатель $b$ не равен нулю.

Этот случай включает в себя и горизонтальные прямые (когда $a=0$ и $b \neq 0$, уравнение становится $y = \frac{c}{b}$), которые также являются невертикальными.

Ответ: Уравнение $ax + by = c$ является уравнением невертикальной прямой при условии, что $b \neq 0$.