Номер 6, страница 89 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. При каком условии уравнение прямой $ax + by = c$ является уравнением вертикальной прямой? Невертикальной прямой?

Вертикальная прямая

Общее уравнение прямой имеет вид $ax + by = c$.

Вертикальная прямая — это прямая, параллельная оси ординат (оси $Oy$). Все точки на такой прямой имеют одну и ту же абсциссу (координату $x$). Уравнение вертикальной прямой имеет вид $x = k$, где $k$ — некоторая константа.

Чтобы из общего уравнения $ax + by = c$ получить уравнение вида $x = k$, необходимо, чтобы слагаемое, содержащее переменную $y$, исчезло. Это произойдет, если коэффициент при $y$ будет равен нулю, то есть $b=0$.

При $b=0$ уравнение принимает вид $ax = c$.

Чтобы это уравнение задавало прямую, а не всю плоскость или пустое множество, коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Если бы $a=0$ и $b=0$, мы бы получили $0=c$, что либо является неверным равенством (если $c \neq 0$), либо тождеством, верным для любой точки плоскости (если $c=0$), но не уравнением прямой.

Следовательно, при $b=0$ и $a \neq 0$ мы можем разделить обе части уравнения на $a$ и получить $x = \frac{c}{a}$. Это и есть уравнение вертикальной прямой.

Ответ: Уравнение $ax + by = c$ является уравнением вертикальной прямой при условии, что $b=0$ и $a \neq 0$.

Невертикальная прямая

Невертикальная прямая — это любая прямая, не являющаяся вертикальной.

Как мы установили выше, прямая является вертикальной, когда $b=0$. Соответственно, чтобы прямая была невертикальной, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент $b$ не был равен нулю, то есть $b \neq 0$.

Если $b \neq 0$, мы можем выразить $y$ из уравнения $ax + by = c$:

$by = -ax + c$

$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$

Это уравнение вида $y = mx + k$ (уравнение прямой с угловым коэффициентом), где угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси $Ox$) равен $m = -\frac{a}{b}$. Любая прямая, у которой существует конечный угловой коэффициент, является невертикальной. Угловой коэффициент существует тогда, когда знаменатель $b$ не равен нулю.

Этот случай включает в себя и горизонтальные прямые (когда $a=0$ и $b \neq 0$, уравнение становится $y = \frac{c}{b}$), которые также являются невертикальными.

Ответ: Уравнение $ax + by = c$ является уравнением невертикальной прямой при условии, что $b \neq 0$.