Номер 3, страница 89 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Любое ли линейное уравнение с двумя переменными является уравнением прямой?

Нет, не любое линейное уравнение с двумя переменными является уравнением прямой.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$ следующий:
$ax + by + c = 0$
где $a$, $b$ и $c$ — это некоторые числа (коэффициенты).

Графиком этого уравнения на координатной плоскости является прямая линия только в том случае, если хотя бы один из коэффициентов при переменных, $a$ или $b$, не равен нулю. Это условие можно записать как $a^2 + b^2 \neq 0$.

Рассмотрим случаи, когда это условие выполняется:
1. Если $b \neq 0$, уравнение можно преобразовать к виду $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2. Если $b=0$ и $a \neq 0$, уравнение принимает вид $ax + c = 0$, или $x = -\frac{c}{a}$. Это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси OY.
3. Если $a=0$ и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $by + c = 0$, или $y = -\frac{c}{b}$. Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси OX.
Во всех этих случаях графиком уравнения является прямая.

Теперь рассмотрим вырожденный случай, когда оба коэффициента при переменных равны нулю: $a=0$ и $b=0$.
Уравнение $ax + by + c = 0$ превращается в $0 \cdot x + 0 \cdot y + c = 0$, что равносильно простому равенству $c = 0$.
Здесь возможны два варианта:
- Если $c$ действительно равно нулю ($c=0$), то мы получаем тождество $0=0$. Этому равенству удовлетворяет любая пара чисел $(x, y)$, а значит, графиком уравнения является вся координатная плоскость, а не прямая.
- Если $c$ не равно нулю ($c \neq 0$), то мы получаем неверное равенство (например, $5=0$). Такое уравнение не имеет решений, и его график — это пустое множество, что также не является прямой.

Ответ: Нет, не любое. Линейное уравнение $ax + by + c = 0$ является уравнением прямой только тогда, когда коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.