Номер 353, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

353. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $E$, $AB = BE = 12$ см, $ED = 18$ см. Найдите площадь параллелограмма.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая $BE$ является секущей для этих параллельных прямых.

Так как $BE$ — биссектриса угла $B$, то $\angle ABE = \angle EBC$.

Углы $\angle EBC$ и $\angle AEB$ являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BE$. Следовательно, они равны: $\angle EBC = \angle AEB$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle ABE = \angle AEB$. Это означает, что треугольник $ABE$ является равнобедренным с основанием $BE$, и его боковые стороны $AB$ и $AE$ равны: $AB = AE$.

По условию задачи $AB = 12$ см, значит, $AE = 12$ см. Также по условию $BE = 12$ см. Таким образом, в треугольнике $ABE$ все стороны равны: $AB = AE = BE = 12$ см. Следовательно, треугольник $ABE$ является равносторонним.

Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, поэтому угол параллелограмма $\angle A = \angle BAE = 60^\circ$.

Найдем длину стороны $AD$ параллелограмма. Точка $E$ лежит на стороне $AD$, поэтому длина стороны $AD$ равна сумме длин отрезков $AE$ и $ED$:

$AD = AE + ED = 12 \text{ см} + 18 \text{ см} = 30 \text{ см}$.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма, а $\alpha$ — угол между ними.

В нашем случае $a = AB = 12$ см, $b = AD = 30$ см, а угол между ними $\alpha = \angle A = 60^\circ$.

Подставим значения в формулу:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A) = 12 \cdot 30 \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{ABCD} = 12 \cdot 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 360 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 180\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $180\sqrt{3}$ см$^2$.