Номер 347, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

347. Докажите, что треугольник с вершинами в точках $A (-1; -2)$, $B (-1; 2)$, $C (5; 2)$ является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около этого треугольника.

Доказательство того, что треугольник является прямоугольным

Чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, мы можем использовать обратную теорему Пифагора. Для этого сначала найдем квадраты длин всех трех сторон треугольника, используя формулу для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Координаты вершин треугольника: $A(-1; -2)$, $B(-1; 2)$, $C(5; 2)$.

1. Найдем квадрат длины стороны AB:
$AB^2 = (-1 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2 = 0^2 + (2 + 2)^2 = 0 + 4^2 = 16$.

2. Найдем квадрат длины стороны BC:
$BC^2 = (5 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 = (5 + 1)^2 + 0^2 = 6^2 + 0 = 36$.

3. Найдем квадрат длины стороны AC:
$AC^2 = (5 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2 = (5 + 1)^2 + (2 + 2)^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$.

Теперь проверим, выполняется ли равенство $AB^2 + BC^2 = AC^2$:
$16 + 36 = 52$.
Поскольку $AC^2 = 52$, равенство выполняется.

Так как сумма квадратов длин двух сторон равна квадрату длины третьей стороны, по обратной теореме Пифагора треугольник ABC является прямоугольным. Прямой угол находится при вершине B, так как он лежит напротив самой длинной стороны (гипотенузы) AC.

Составление уравнения окружности, описанной около этого треугольника

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. В данном случае гипотенузой является сторона AC.

1. Найдем координаты центра окружности O, который является серединой отрезка AC. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}$ и $y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$.
$x_O = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_O = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Следовательно, центр окружности находится в точке $O(2; 0)$.

2. Радиус $R$ описанной окружности равен половине длины гипотенузы AC. Мы уже вычислили, что $AC^2 = 52$. Тогда квадрат радиуса равен:
$R^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \frac{AC^2}{4} = \frac{52}{4} = 13$.

3. Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Подставим координаты центра $O(2; 0)$ и значение квадрата радиуса $R^2 = 13$ в это уравнение:
$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 13$
$(x - 2)^2 + y^2 = 13$.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, так как для его сторон выполняется теорема Пифагора ($16 + 36 = 52$). Уравнение описанной около него окружности: $(x - 2)^2 + y^2 = 13$.