Номер 342, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

342. Сколько существует окружностей, проходящих через точку (3; 5), радиусы которых равны $3\sqrt{5}$ и центры которых принадлежат оси ординат? Запишите уравнение каждой такой окружности.

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(a; b)$ и радиусом $R$ записывается в виде: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Из условия задачи известно, что центры окружностей принадлежат оси ординат (оси OY). Это значит, что абсцисса центра $a$ равна нулю. Таким образом, центр окружности имеет координаты $(0; b)$.

Также по условию радиус окружности $R = 3\sqrt{5}$. Возведем радиус в квадрат, чтобы подставить в уравнение: $R^2 = (3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

С учетом этих данных уравнение искомой окружности принимает вид: $x^2 + (y - b)^2 = 45$.

Окружность проходит через точку $(3; 5)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим значения $x = 3$ и $y = 5$ в уравнение, чтобы найти неизвестную координату центра $b$: $3^2 + (5 - b)^2 = 45$

Теперь решим полученное уравнение: $9 + (5 - b)^2 = 45$ $(5 - b)^2 = 45 - 9$ $(5 - b)^2 = 36$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных решения для выражения $(5 - b)$:
1) $5 - b = 6$
2) $5 - b = -6$

Находим значение $b$ для каждого случая:
1) $b = 5 - 6 \Rightarrow b_1 = -1$
2) $b = 5 - (-6) \Rightarrow b = 5 + 6 \Rightarrow b_2 = 11$

Мы получили два различных значения для ординаты центра, что означает, что существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи. Центры этих окружностей находятся в точках $(0; -1)$ и $(0; 11)$.

Запишем уравнение для каждой окружности:
1. Для центра $(0; -1)$ и $R^2 = 45$: $x^2 + (y - (-1))^2 = 45$ $x^2 + (y + 1)^2 = 45$
2. Для центра $(0; 11)$ и $R^2 = 45$: $x^2 + (y - 11)^2 = 45$

Ответ: Существует две окружности. Уравнения этих окружностей: $x^2 + (y + 1)^2 = 45$ и $x^2 + (y - 11)^2 = 45$.