Номер 343, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

343. Составьте уравнение окружности, центр которой принадлежит оси абсцисс и которая проходит через точки $A (-4; 1)$ и $B (8; 5).$

Общее уравнение окружности с центром в точке $C(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности принадлежит оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что координата $y$ центра равна нулю, то есть $b=0$. Таким образом, центр окружности имеет координаты $C(a; 0)$, а уравнение окружности принимает вид:$(x - a)^2 + y^2 = R^2$

Окружность проходит через точки $A(-4; 1)$ и $B(8; 5)$. Это означает, что координаты этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точек $A$ и $B$ в это уравнение, чтобы составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $a$ и $R$.

Для точки $A(-4; 1)$ получаем:$(-4 - a)^2 + 1^2 = R^2$$(a + 4)^2 + 1 = R^2$

Для точки $B(8; 5)$ получаем:$(8 - a)^2 + 5^2 = R^2$$(8 - a)^2 + 25 = R^2$

Так как левые части обоих уравнений равны $R^2$, мы можем их приравнять друг к другу:$(a + 4)^2 + 1 = (8 - a)^2 + 25$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$. Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:$a^2 + 8a + 16 + 1 = 64 - 16a + a^2 + 25$$a^2 + 8a + 17 = a^2 - 16a + 89$

Сократим $a^2$ в обеих частях уравнения и перенесем члены с $a$ в левую часть, а свободные члены — в правую:$8a + 16a = 89 - 17$$24a = 72$$a = \frac{72}{24}$$a = 3$

Итак, мы нашли абсциссу центра окружности. Координаты центра: $C(3; 0)$.

Далее найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив значение $a = 3$ в любое из ранее полученных уравнений. Возьмем первое уравнение:$R^2 = (a + 4)^2 + 1$$R^2 = (3 + 4)^2 + 1$$R^2 = 7^2 + 1$$R^2 = 49 + 1$$R^2 = 50$

Теперь, зная координаты центра $C(3; 0)$ и квадрат радиуса $R^2 = 50$, мы можем составить искомое уравнение окружности:$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 50$$(x - 3)^2 + y^2 = 50$

Ответ: $(x - 3)^2 + y^2 = 50$