Номер 350, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

350. Составьте уравнение окружности, касающейся координатных осей и прямой $y = -4$.

Пусть центр искомой окружности находится в точке $C(x_0, y_0)$, а ее радиус равен $R$. Каноническое уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Из условия, что окружность касается координатных осей (оси Ox, уравнение которой $y=0$, и оси Oy, уравнение которой $x=0$), следует, что расстояние от центра до каждой из осей равно радиусу. Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до оси Ox равно $|y_0|$, а до оси Oy — $|x_0|$. Таким образом, мы получаем первое условие: $|x_0| = |y_0| = R$.

Из условия, что окружность касается прямой $y = -4$, следует, что расстояние от центра $(x_0, y_0)$ до этой прямой также равно радиусу. Расстояние от точки до горизонтальной прямой $y=c$ вычисляется по формуле $|y_0 - c|$. В нашем случае это расстояние равно $|y_0 - (-4)| = |y_0 + 4|$. Таким образом, мы получаем второе условие: $|y_0 + 4| = R$.

Объединив два условия для радиуса, получаем уравнение для нахождения $y_0$:$|y_0| = |y_0 + 4|$.

Данное уравнение с модулями равносильно совокупности двух уравнений: $y_0 = y_0 + 4$ или $y_0 = -(y_0 + 4)$.Первое уравнение, $y_0 = y_0 + 4$, приводит к неверному равенству $0 = 4$ и не имеет решений.Второе уравнение, $y_0 = -y_0 - 4$, преобразуется к виду $2y_0 = -4$, откуда мы находим $y_0 = -2$.

Итак, ордината центра окружности равна $y_0 = -2$. Теперь найдем радиус окружности, используя первое условие:$R = |y_0| = |-2| = 2$.

Зная радиус, найдем возможные значения для абсциссы центра $x_0$ из условия $|x_0| = R$:$|x_0| = 2$, что дает два решения: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют две окружности.Первая окружность имеет центр в точке $(2, -2)$ и радиус $R=2$. Ее уравнение: $(x - 2)^2 + (y - (-2))^2 = 2^2$, что равносильно $(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$.Вторая окружность имеет центр в точке $(-2, -2)$ и радиус $R=2$. Ее уравнение: $(x - (-2))^2 + (y - (-2))^2 = 2^2$, что равносильно $(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$ и $(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$.