Номер 352, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

352. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки:

1) $A (-3; 7)$, $B (-8; 2)$, $C (-6; -2)$;

2) $M (-1; 10)$, $N (12; -3)$, $K (4; 9)$.

1) Даны точки A(-3; 7), B(-8; 2), C(-6; -2).

Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ - координаты центра окружности, а $R$ - ее радиус.

Так как все три точки лежат на окружности, они равноудалены от ее центра $O(a; b)$. Это означает, что квадраты расстояний от центра до этих точек равны: $OA^2 = OB^2 = OC^2$.

Составим первое уравнение, приравняв $OA^2$ и $OB^2$:

$OA^2 = (-3 - a)^2 + (7 - b)^2 = (a + 3)^2 + (b - 7)^2$

$OB^2 = (-8 - a)^2 + (2 - b)^2 = (a + 8)^2 + (b - 2)^2$

$(a + 3)^2 + (b - 7)^2 = (a + 8)^2 + (b - 2)^2$

Раскроем скобки: $a^2 + 6a + 9 + b^2 - 14b + 49 = a^2 + 16a + 64 + b^2 - 4b + 4$.

Упростим выражение: $6a - 14b + 58 = 16a - 4b + 68$.

Приведем подобные члены: $10a + 10b = -10$, что эквивалентно $a + b = -1$.

Составим второе уравнение, приравняв $OB^2$ и $OC^2$:

$OC^2 = (-6 - a)^2 + (-2 - b)^2 = (a + 6)^2 + (b + 2)^2$

$(a + 8)^2 + (b - 2)^2 = (a + 6)^2 + (b + 2)^2$

Раскроем скобки: $a^2 + 16a + 64 + b^2 - 4b + 4 = a^2 + 12a + 36 + b^2 + 4b + 4$.

Упростим выражение: $16a - 4b + 68 = 12a + 4b + 40$.

Приведем подобные члены: $4a - 8b = -28$, что эквивалентно $a - 2b = -7$.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} a + b = -1 \\ a - 2b = -7 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого: $(a + b) - (a - 2b) = -1 - (-7)$, что дает $3b = 6$, откуда $b = 2$.

Подставим значение $b$ в первое уравнение: $a + 2 = -1$, откуда $a = -3$.

Таким образом, центр окружности - точка $O(-3; 2)$.

Найдем квадрат радиуса, используя координаты точки A:

$R^2 = OA^2 = (-3 - (-3))^2 + (7 - 2)^2 = 0^2 + 5^2 = 25$.

Подставим координаты центра и значение квадрата радиуса в общее уравнение окружности:

$(x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 25$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$.

2) Даны точки M(-1; 10), N(12; -3), K(4; 9).

Аналогично предыдущему пункту, найдем координаты центра $O(a; b)$, решив систему уравнений, полученную из условия $OM^2 = ON^2 = OK^2$.

Приравняем $OM^2$ и $ON^2$:

$OM^2 = (-1 - a)^2 + (10 - b)^2 = (a + 1)^2 + (b - 10)^2$

$ON^2 = (12 - a)^2 + (-3 - b)^2 = (a - 12)^2 + (b + 3)^2$

$(a + 1)^2 + (b - 10)^2 = (a - 12)^2 + (b + 3)^2$

$a^2 + 2a + 1 + b^2 - 20b + 100 = a^2 - 24a + 144 + b^2 + 6b + 9$

$2a - 20b + 101 = -24a + 6b + 153$

$26a - 26b = 52$, что эквивалентно $a - b = 2$.

Приравняем $ON^2$ и $OK^2$:

$OK^2 = (4 - a)^2 + (9 - b)^2 = (a - 4)^2 + (b - 9)^2$

$(a - 12)^2 + (b + 3)^2 = (a - 4)^2 + (b - 9)^2$

$a^2 - 24a + 144 + b^2 + 6b + 9 = a^2 - 8a + 16 + b^2 - 18b + 81$

$-24a + 6b + 153 = -8a - 18b + 97$

$-16a + 24b = -56$. Разделим обе части на -8: $2a - 3b = 7$.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} a - b = 2 \\ 2a - 3b = 7 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a = b + 2$ и подставим во второе:

$2(b + 2) - 3b = 7$

$2b + 4 - 3b = 7$

$-b = 3$, откуда $b = -3$.

Найдем $a$: $a = -3 + 2 = -1$.

Центр окружности - точка $O(-1; -3)$.

Найдем квадрат радиуса, используя координаты точки M:

$R^2 = OM^2 = (-1 - (-1))^2 + (10 - (-3))^2 = 0^2 + 13^2 = 169$.

Подставим найденные значения в уравнение окружности:

$(x - (-1))^2 + (y - (-3))^2 = 169$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 169$.