Номер 349, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

349. Составьте уравнение окружности, радиус которой равен $\sqrt{10}$, проходящей через точки $M (-2; 1)$ и $K (-4; -1)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

По условию задачи, радиус окружности $R = \sqrt{10}$, следовательно, квадрат радиуса $R^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$.

Таким образом, уравнение искомой окружности принимает вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = 10$

Окружность проходит через точки $M(-2; 1)$ и $K(-4; -1)$. Это означает, что координаты этих точек должны удовлетворять уравнению окружности. Подставим координаты точек $M$ и $K$ в это уравнение, чтобы составить систему уравнений для нахождения неизвестных координат центра $(a; b)$.

Для точки $M(-2; 1)$:

$(-2 - a)^2 + (1 - b)^2 = 10$

$(a + 2)^2 + (b - 1)^2 = 10$ (1)

Для точки $K(-4; -1)$:

$(-4 - a)^2 + (-1 - b)^2 = 10$

$(a + 4)^2 + (b + 1)^2 = 10$ (2)

Поскольку левые части обоих уравнений равны 10, мы можем приравнять их друг к другу:

$(a + 2)^2 + (b - 1)^2 = (a + 4)^2 + (b + 1)^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$a^2 + 4a + 4 + b^2 - 2b + 1 = a^2 + 8a + 16 + b^2 + 2b + 1$

Сократим одинаковые члены ($a^2$ и $b^2$) в обеих частях уравнения:

$4a - 2b + 5 = 8a + 2b + 17$

Сгруппируем члены с переменными в одной части уравнения, а числовые константы — в другой:

$5 - 17 = 8a - 4a + 2b + 2b$

$-12 = 4a + 4b$

Разделим обе части полученного уравнения на 4 для упрощения:

$-3 = a + b$

Из этого линейного уравнения выразим одну переменную через другую, например, $a$ через $b$:

$a = -3 - b$

Теперь подставим это выражение для $a$ в любое из первоначальных уравнений системы, например, в уравнение (1):

$((-3 - b) + 2)^2 + (b - 1)^2 = 10$

$(-1 - b)^2 + (b - 1)^2 = 10$

Поскольку $(-1 - b)^2 = (-(b+1))^2 = (b+1)^2$, уравнение принимает вид:

$(b + 1)^2 + (b - 1)^2 = 10$

Раскроем скобки:

$(b^2 + 2b + 1) + (b^2 - 2b + 1) = 10$

Приведем подобные члены:

$2b^2 + 2 = 10$

$2b^2 = 8$

$b^2 = 4$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $b$:

$b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Для каждого значения $b$ найдем соответствующее значение $a$, используя ранее полученную зависимость $a = -3 - b$:

1. Если $b_1 = 2$, то $a_1 = -3 - 2 = -5$. Таким образом, центр первой возможной окружности находится в точке $O_1(-5; 2)$.

2. Если $b_2 = -2$, то $a_2 = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1$. Таким образом, центр второй возможной окружности находится в точке $O_2(-1; -2)$.

Таким образом, мы нашли два центра окружностей, удовлетворяющих условиям задачи. Теперь запишем уравнения для каждой из них.

1. Уравнение окружности с центром в $O_1(-5; 2)$ и радиусом $R = \sqrt{10}$:

$(x - (-5))^2 + (y - 2)^2 = 10$

$(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 10$

2. Уравнение окружности с центром в $O_2(-1; -2)$ и радиусом $R = \sqrt{10}$:

$(x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 = 10$

$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 10$

Ответ: $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 10$ и $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 10$.