Номер 1, страница 89 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой вид имеет уравнение прямой на плоскости $xy$?

Уравнение прямой на плоскости xy может быть представлено в нескольких различных видах. Каждый вид удобен для решения определённого круга задач и использует разные параметры для задания прямой. Рассмотрим основные из них.

Общее уравнение прямой

Это наиболее универсальная форма записи, которая может описать любую прямую на плоскости. Она представляет собой линейное уравнение с двумя переменными x и y.

$Ax + By + C = 0$

Здесь A, B, C – некоторые действительные числа, причём коэффициенты A и B не могут быть равны нулю одновременно (т.е. $A^2 + B^2 \neq 0$). Вектор $\vec{n} = (A, B)$ является вектором нормали (перпендикуляром) к данной прямой.

Ответ: $Ax + By + C = 0$.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Эта форма очень часто используется в алгебре и анализе. Она явно выражает y через x и удобна для построения графика функции.

$y = kx + b$

В этом уравнении k – это угловой коэффициент, который равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (Ox). Коэффициент b – это ордината точки пересечения прямой с осью ординат (Oy), его также называют "свободный член" или y-перехват. Важно отметить, что в таком виде нельзя представить вертикальные прямые (параллельные оси Oy), для которых уравнение имеет вид $x = \text{const}$.

Ответ: $y = kx + b$.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если известны координаты двух различных точек $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, через которые проходит прямая, её уравнение можно записать в каноническом виде.

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Это уравнение выводится из подобия треугольников. Если $x_1 = x_2$, то прямая вертикальна и её уравнение $x = x_1$. Если $y_1 = y_2$, прямая горизонтальна и её уравнение $y = y_1$.

Ответ: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Уравнение прямой "в отрезках"

Эта форма удобна, когда известны точки пересечения прямой с осями координат.

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Здесь a – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox, а b – ордината точки пересечения с осью Oy. Эта форма не применима для прямых, проходящих через начало координат ($a=0$ или $b=0$), а также для прямых, параллельных одной из осей.

Ответ: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Нормальное уравнение прямой

Эта форма использует параметры, связанные с перпендикуляром, опущенным на прямую из начала координат.

$x \cos\alpha + y \sin\alpha - p = 0$

Здесь p – это длина этого перпендикуляра ($p \ge 0$), а $\alpha$ – угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ox.

Ответ: $x \cos\alpha + y \sin\alpha - p = 0$.