Номер 354, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

354. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит эту диагональ на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите периметр прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Проведем диагональ $AC$. Из вершины $B$ опустим перпендикуляр $BH$ на диагональ $AC$. По условию, этот перпендикуляр делит диагональ на отрезки длиной $9$ см и $16$ см. Пусть $AH = 9$ см, а $HC = 16$ см.

1. Сначала найдем полную длину диагонали $AC$. Она равна сумме длин ее отрезков:

$AC = AH + HC = 9 + 16 = 25$ см.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то угол $\angle ABC = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник, где $AC$ — гипотенуза, а $AB$ и $BC$ — катеты. Отрезок $BH$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

3. Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Для катета $AB$ его проекцией на гипотенузу $AC$ является отрезок $AH$. Таким образом:

$AB^2 = AC \cdot AH$

$AB^2 = 25 \cdot 9 = 225$

$AB = \sqrt{225} = 15$ см.

Для катета $BC$ его проекцией на гипотенузу $AC$ является отрезок $HC$. Таким образом:

$BC^2 = AC \cdot HC$

$BC^2 = 25 \cdot 16 = 400$

$BC = \sqrt{400} = 20$ см.

4. Мы нашли длины сторон прямоугольника: $15$ см и $20$ см. Теперь можем найти его периметр ($P$).

$P = 2 \cdot (AB + BC)$

$P = 2 \cdot (15 + 20) = 2 \cdot 35 = 70$ см.

Ответ: 70 см.