Номер 348, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

348. Составьте уравнение окружности, радиус которой равен 5, проходящей через точки C $(-1; 5)$ и D $(6; 4)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

По условию задачи, радиус окружности $R = 5$. Следовательно, $R^2 = 5^2 = 25$. Уравнение принимает вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = 25$

Окружность проходит через точки $C(-1; 5)$ и $D(6; 4)$. Это означает, что координаты этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точек $C$ и $D$ в уравнение, чтобы получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$.

Для точки $C(-1; 5)$:

$(-1 - a)^2 + (5 - b)^2 = 25$

Для точки $D(6; 4)$:

$(6 - a)^2 + (4 - b)^2 = 25$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (-1 - a)^2 + (5 - b)^2 = 25 \\ (6 - a)^2 + (4 - b)^2 = 25 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$(-1 - a)^2 + (5 - b)^2 = (6 - a)^2 + (4 - b)^2$

Раскроем скобки:

$(1 + 2a + a^2) + (25 - 10b + b^2) = (36 - 12a + a^2) + (16 - 8b + b^2)$

Упростим уравнение, сократив $a^2$ и $b^2$ в обеих частях:

$1 + 2a + 25 - 10b = 36 - 12a + 16 - 8b$

$26 + 2a - 10b = 52 - 12a - 8b$

Перенесем все члены с переменными в одну сторону, а константы — в другую:

$2a + 12a - 10b + 8b = 52 - 26$

$14a - 2b = 26$

Разделим обе части на 2:

$7a - b = 13$

Выразим $b$ через $a$:

$b = 7a - 13$

Теперь подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы: $(-1 - a)^2 + (5 - b)^2 = 25$.

$(-1 - a)^2 + (5 - (7a - 13))^2 = 25$

$(1 + a)^2 + (5 - 7a + 13)^2 = 25$

$(1 + a)^2 + (18 - 7a)^2 = 25$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:

$(1 + 2a + a^2) + (324 - 252a + 49a^2) = 25$

$50a^2 - 250a + 325 = 25$

$50a^2 - 250a + 300 = 0$

Разделим все уравнение на 50:

$a^2 - 5a + 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $b$ для каждого значения $a$, используя формулу $b = 7a - 13$:

1. Если $a_1 = 2$, то $b_1 = 7(2) - 13 = 14 - 13 = 1$.
Центр первой окружности: $O_1(2; 1)$.
Уравнение первой окружности: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$.

2. Если $a_2 = 3$, то $b_2 = 7(3) - 13 = 21 - 13 = 8$.
Центр второй окружности: $O_2(3; 8)$.
Уравнение второй окружности: $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 25$.

Таким образом, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ или $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 25$.