Номер 344, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

344. Докажите, что окружность $(x + 6)^2 + (y - 3)^2 = 36$:

1) касается оси ординат;

2) пересекает ось абсцисс;

3) не имеет общих точек с прямой $y = 10$.

Уравнение окружности задано в каноническом виде $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Для окружности $(x + 6)^2 + (y - 3)^2 = 36$ имеем:
- Центр окружности находится в точке $C(-6, 3)$.
- Радиус окружности $R = \sqrt{36} = 6$.

1) касается оси ординат

Ось ординат — это прямая, заданная уравнением $x = 0$. Окружность касается прямой, если расстояние от центра окружности до этой прямой равно радиусу.
Расстояние $d$ от центра $C(-6, 3)$ до прямой $x = 0$ равно модулю абсциссы центра:
$d = |-6| = 6$.
Радиус окружности $R = 6$.
Поскольку расстояние от центра до прямой равно радиусу ($d = R$), окружность касается оси ординат.
Найдем точку касания, подставив $x = 0$ в уравнение окружности:
$(0 + 6)^2 + (y - 3)^2 = 36$
$36 + (y - 3)^2 = 36$
$(y - 3)^2 = 0$
$y = 3$.
Окружность касается оси ординат в одной точке $(0, 3)$.
Ответ: Доказано, что окружность касается оси ординат.

2) пересекает ось абсцисс

Ось абсцисс — это прямая, заданная уравнением $y = 0$. Окружность пересекает прямую, если расстояние от ее центра до этой прямой меньше радиуса.
Расстояние $d$ от центра $C(-6, 3)$ до прямой $y = 0$ равно модулю ординаты центра:
$d = |3| = 3$.
Радиус окружности $R = 6$.
Поскольку расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < R$, так как $3 < 6$), окружность пересекает ось абсцисс в двух точках.
Чтобы убедиться в этом, найдем точки пересечения. Подставим $y = 0$ в уравнение окружности:
$(x + 6)^2 + (0 - 3)^2 = 36$
$(x + 6)^2 + 9 = 36$
$(x + 6)^2 = 27$.
Так как правая часть уравнения положительна, оно имеет два различных действительных корня, что доказывает наличие двух точек пересечения.
Ответ: Доказано, что окружность пересекает ось абсцисс.

3) не имеет общих точек с прямой y = 10

Окружность не имеет общих точек с прямой, если расстояние от ее центра до этой прямой больше радиуса.
Найдем расстояние $d$ от центра $C(-6, 3)$ до прямой $y = 10$:
$d = |3 - 10| = |-7| = 7$.
Радиус окружности $R = 6$.
Поскольку расстояние от центра до прямой больше радиуса ($d > R$, так как $7 > 6$), окружность и прямая не имеют общих точек.
Для проверки можно подставить $y = 10$ в уравнение окружности:
$(x + 6)^2 + (10 - 3)^2 = 36$
$(x + 6)^2 + 7^2 = 36$
$(x + 6)^2 + 49 = 36$
$(x + 6)^2 = -13$.
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у окружности и прямой нет общих точек.
Ответ: Доказано, что окружность не имеет общих точек с прямой $y = 10$.