Номер 346, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

346. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

1) $x^2 + y^2 + 16y + 60 = 0$;

2) $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 15 = 0$.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, необходимо привести его к каноническому виду: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус. Этот процесс осуществляется методом выделения полного квадрата.

1) $x^2 + y^2 + 16y + 60 = 0$

Сгруппируем члены, содержащие $x$ и $y$:

$x^2 + (y^2 + 16y) + 60 = 0$

Член $x^2$ уже является полным квадратом $(x-0)^2$.

Для выражения $y^2 + 16y$ выделим полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$. В нашем случае $m=y$ и $2mn = 16y$, откуда $2yn = 16y$, что дает $n=8$. Следовательно, нам нужно добавить и вычесть $n^2 = 8^2 = 64$:

$y^2 + 16y = (y^2 + 16y + 64) - 64 = (y+8)^2 - 64$

Подставим это обратно в исходное уравнение:

$x^2 + (y+8)^2 - 64 + 60 = 0$

$x^2 + (y+8)^2 - 4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 + (y+8)^2 = 4$

Это уравнение соответствует каноническому виду уравнения окружности $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Отсюда видно, что $a=0$, $b=-8$, и $R^2=4$.

Таким образом, данное уравнение действительно является уравнением окружности с центром в точке $(0, -8)$ и радиусом $R=\sqrt{4}=2$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(0, -8)$ и радиусом $R=2$.

2) $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 15 = 0$

Сгруппируем члены, содержащие $x$ и $y$:

$(x^2 - 8x) + (y^2 + 4y) + 15 = 0$

Выделим полные квадраты для каждой группы.

Для $x^2 - 8x$: используя формулу $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$, имеем $m=x$, $2mn=8x$, откуда $n=4$. Добавим и вычтем $n^2=4^2=16$:

$x^2 - 8x = (x^2 - 8x + 16) - 16 = (x-4)^2 - 16$

Для $y^2 + 4y$: используя формулу $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$, имеем $m=y$, $2mn=4y$, откуда $n=2$. Добавим и вычтем $n^2=2^2=4$:

$y^2 + 4y = (y^2 + 4y + 4) - 4 = (y+2)^2 - 4$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$((x-4)^2 - 16) + ((y+2)^2 - 4) + 15 = 0$

$(x-4)^2 + (y+2)^2 - 16 - 4 + 15 = 0$

$(x-4)^2 + (y+2)^2 - 5 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x-4)^2 + (y+2)^2 = 5$

Это уравнение соответствует каноническому виду уравнения окружности $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Отсюда видно, что $a=4$, $b=-2$, и $R^2=5$.

Таким образом, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(4, -2)$ и радиусом $R=\sqrt{5}$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(4, -2)$ и радиусом $R=\sqrt{5}$.