Номер 341, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

341. Составьте уравнение окружности, центр которой находится на прямой $y = -5$ и которая касается оси абсцисс в точке $S (2; 0)$.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Чтобы составить уравнение, нам необходимо найти координаты центра $(x_0, y_0)$ и радиус $R$.

1. По условию, центр окружности находится на прямой $y = -5$. Это означает, что ордината центра $y_0 = -5$.

2. Окружность касается оси абсцисс (оси $Ox$) в точке $S(2; 0)$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (в данном случае, оси $Ox$). Так как ось $Ox$ — это горизонтальная прямая, то радиус, соединяющий центр с точкой касания $S$, является отрезком вертикальной прямой. Это значит, что центр окружности и точка касания $S$ должны иметь одинаковую абсциссу. Абсцисса точки $S$ равна 2, следовательно, абсцисса центра $x_0 = 2$.

Таким образом, мы определили координаты центра окружности: $C(2; -5)$.

3. Радиус окружности $R$ — это расстояние от центра до любой точки на окружности. В частности, это расстояние от центра $C(2; -5)$ до точки касания $S(2; 0)$. Так как обе точки лежат на одной вертикальной прямой ($x=2$), расстояние между ними равно модулю разности их ординат:

$R = |y_C - y_S| = |-5 - 0| = |-5| = 5$.

4. Теперь подставим найденные значения координат центра $(x_0=2, y_0=-5)$ и радиус $R=5$ в стандартное уравнение окружности:

$(x - 2)^2 + (y - (-5))^2 = 5^2$

$(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25$