Страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

369. Найдите периметр треугольника, ограниченного осями координат и прямой $4x - 3y = 12$.

Для того чтобы найти периметр треугольника, нам нужно определить длины всех его сторон. Этот треугольник образован осями координат (осью Ox и осью Oy) и прямой, заданной уравнением $4x - 3y = 12$. Вершины этого треугольника — это точки, в которых эти три линии пересекаются друг с другом.

1. Найдем точку пересечения прямой $4x - 3y = 12$ с осью абсцисс (Ox). На этой оси координата $y$ всегда равна нулю. Подставим $y = 0$ в уравнение прямой:

$4x - 3(0) = 12$

$4x = 12$

$x = 3$

Таким образом, первая вершина треугольника находится в точке A с координатами $(3, 0)$.

2. Найдем точку пересечения прямой $4x - 3y = 12$ с осью ординат (Oy). На этой оси координата $x$ всегда равна нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение прямой:

$4(0) - 3y = 12$

$-3y = 12$

$y = -4$

Таким образом, вторая вершина треугольника находится в точке B с координатами $(0, -4)$.

3. Третья вершина треугольника — это точка пересечения осей координат Ox и Oy. Это начало координат, точка O с координатами $(0, 0)$.

В результате мы получили прямоугольный треугольник AOB, у которого катеты лежат на осях координат, а прямой угол находится в начале координат (точка O).

Теперь вычислим длины сторон этого треугольника:

• Длина катета OA (отрезок на оси Ox от $0$ до $3$) равна $3$.
• Длина катета OB (отрезок на оси Oy от $0$ до $-4$) равна $|-4| = 4$.
• Длину гипотенузы AB найдем по теореме Пифагора, так как треугольник AOB прямоугольный: $AB^2 = OA^2 + OB^2$.

$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = OA + OB + AB = 3 + 4 + 5 = 12$.

Ответ: 12.

370. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и прямой $7y - 2x = 28$.

Треугольник, ограниченный осями координат и прямой, является прямоугольным треугольником. Его вершины находятся в точке начала координат и в точках пересечения прямой с осями X и Y. Катеты этого треугольника лежат на осях координат.

1. Найдём точку пересечения прямой $7y - 2x = 28$ с осью ординат (OY).

Для этого подставим $x = 0$ в уравнение прямой:

$7y - 2 \cdot 0 = 28$

$7y = 28$

$y = \frac{28}{7} = 4$

Таким образом, прямая пересекает ось OY в точке $(0, 4)$. Длина одного катета треугольника равна $4$.

2. Найдём точку пересечения прямой $7y - 2x = 28$ с осью абсцисс (OX).

Для этого подставим $y = 0$ в уравнение прямой:

$7 \cdot 0 - 2x = 28$

$-2x = 28$

$x = \frac{28}{-2} = -14$

Таким образом, прямая пересекает ось OX в точке $(-14, 0)$. Длина второго катета треугольника равна абсолютному значению координаты $x$, то есть $|-14| = 14$.

3. Найдём площадь прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) равна половине произведения его катетов ($a$ и $b$):

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Подставим длины катетов, которые мы нашли:

$S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28$

Ответ: 28

371. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми $3x + 2y = 6$ и $y = -\frac{9}{4}x$ и осью ординат.

Для того чтобы найти площадь треугольника, сначала необходимо определить координаты его вершин. Вершины треугольника являются точками пересечения прямых, которые его ограничивают.

Нам даны три линии:

• Прямая 1: $3x + 2y = 6$
• Прямая 2: $y = -\frac{9}{4}x$
• Прямая 3: Ось ординат, уравнение которой $x=0$.

Найдем координаты вершин треугольника, решая системы уравнений для каждой пары прямых.

1. Нахождение первой вершины (пересечение Прямой 1 и Прямой 2)

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ y = -\frac{9}{4}x \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$3x + 2\left(-\frac{9}{4}x\right) = 6$

$3x - \frac{9}{2}x = 6$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$6x - 9x = 12$

$-3x = 12$

$x = -4$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:

$y = -\frac{9}{4}(-4) = 9$

Таким образом, первая вершина — точка A(-4, 9).

2. Нахождение второй вершины (пересечение Прямой 1 и Прямой 3)

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ x = 0 \end{cases}$

Подставим $x = 0$ в первое уравнение:

$3(0) + 2y = 6$

$2y = 6$

$y = 3$

Таким образом, вторая вершина — точка B(0, 3).

3. Нахождение третьей вершины (пересечение Прямой 2 и Прямой 3)

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -\frac{9}{4}x \\ x = 0 \end{cases}$

Подставим $x = 0$ в первое уравнение:

$y = -\frac{9}{4}(0) = 0$

Таким образом, третья вершина — точка C(0, 0), которая является началом координат.

4. Вычисление площади треугольника

Мы нашли вершины треугольника: A(-4, 9), B(0, 3) и C(0, 0). Две вершины, B(0, 3) и C(0, 0), лежат на оси ординат (оси OY). Мы можем использовать отрезок BC в качестве основания треугольника. Длина основания BC равна расстоянию между точками B и C: $a = |y_B - y_C| = |3 - 0| = 3$.

Высота треугольника $h$, проведенная из вершины A к основанию BC (лежащему на оси OY), равна абсолютному значению абсциссы (координаты x) точки A: $h = |x_A| = |-4| = 4$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{12}{2} = 6$.

Ответ: 6

372. Докажите, что окружность $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 9$ и прямая $x + y = 7$ пересекаются, и найдите координаты их точек пересечения.

Доказательство того, что окружность и прямая пересекаются

Чтобы доказать, что окружность $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 9$ и прямая $x + y = 7$ пересекаются, необходимо решить систему их уравнений. Если система имеет действительные решения, это означает, что у фигур есть общие точки, то есть они пересекаются.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} (x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 9 \\ x + y = 7 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 7 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x - 5)^2 + ((7 - x) - 5)^2 = 9$

$(x - 5)^2 + (2 - x)^2 = 9$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 10x + 25) + (4 - 4x + x^2) = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 14x + 29 = 9$

$2x^2 - 14x + 20 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Для того чтобы определить, есть ли у этого квадратного уравнения действительные корни, вычислим его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

Так как дискриминант $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это доказывает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Ответ: Утверждение доказано.

Нахождение координат точек пересечения

Координаты $x$ точек пересечения являются корнями уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$, которое мы получили в предыдущем пункте. Найдем эти корни, используя формулу для решения квадратных уравнений и найденный дискриминант $D=9$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 3}{2}$

Вычислим оба корня:

$x_1 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$ из уравнения прямой $y = 7 - x$:

Для $x_1 = 2$: $y_1 = 7 - 2 = 5$. Первая точка пересечения — $(2, 5)$.

Для $x_2 = 5$: $y_2 = 7 - 5 = 2$. Вторая точка пересечения — $(5, 2)$.

Ответ: $(2, 5)$ и $(5, 2)$.

373. Докажите, что прямая $x + y = 5$ является касательной к окружности $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 8$, и найдите координаты точки касания.

Для того чтобы доказать, что прямая является касательной к окружности, и найти координаты точки касания, необходимо найти точки их пересечения. Прямая является касательной к окружности, если они имеют ровно одну общую точку.

Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 8 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$(x - 3)^2 + ((5 - x) + 2)^2 = 8$

Упростим выражение в скобках:

$(x - 3)^2 + (7 - x)^2 = 8$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 6x + 9) + (49 - 14x + x^2) = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 20x + 58 = 8$

Перенесем 8 в левую часть уравнения:

$2x^2 - 20x + 50 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 - 10x + 25 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Количество его решений соответствует количеству точек пересечения прямой и окружности. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$

Так как дискриминант равен нулю ($D=0$), квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Это означает, что прямая и окружность имеют только одну общую точку пересечения. Следовательно, прямая $x + y = 5$ является касательной к окружности $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 8$.

Теперь найдем координаты точки касания. Для этого решим уравнение $x^2 - 10x + 25 = 0$. Это уравнение является полным квадратом:

$(x - 5)^2 = 0$

Отсюда находим корень:

$x - 5 = 0 \implies x = 5$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение прямой $y = 5 - x$, чтобы найти соответствующее значение $y$:

$y = 5 - 5 = 0$

Таким образом, координаты точки касания — $(5, 0)$.

Ответ: Доказано, что прямая является касательной, так как система уравнений прямой и окружности имеет единственное решение. Координаты точки касания: $(5, 0)$.

374. Докажите, что окружность $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 1$ и прямая $3x + y = 3$ не имеют общих точек.

Чтобы доказать, что окружность и прямая не имеют общих точек, можно пойти двумя путями: решить систему уравнений или найти расстояние от центра окружности до прямой и сравнить его с радиусом.

Способ 1. Алгебраический

Если у окружности и прямой есть общие точки, то их координаты должны удовлетворять системе уравнений:

$\begin{cases} (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 1 \\ 3x + y = 3 \end{cases}$

Выразим y из второго уравнения: $y = 3 - 3x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x - 4)^2 + ((3 - 3x) - 2)^2 = 1$

$(x - 4)^2 + (1 - 3x)^2 = 1$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности:

$(x^2 - 8x + 16) + (1 - 6x + 9x^2) = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$10x^2 - 14x + 17 = 1$

$10x^2 - 14x + 16 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$5x^2 - 7x + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$, чтобы определить количество решений:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 49 - 160 = -111$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что система уравнений не имеет решений, и, следовательно, у окружности и прямой нет общих точек.

Ответ: Окружность и прямая не имеют общих точек, так как система их уравнений не имеет действительных решений, что и требовалось доказать.

Способ 2. Геометрический

Взаимное расположение прямой и окружности зависит от соотношения между радиусом окружности r и расстоянием от ее центра до прямой d. Если $d > r$, то общих точек нет.

Уравнение окружности дано в виде $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Для нашей окружности $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 1$ имеем: координаты центра $C(4; 2)$ и радиус $r = \sqrt{1} = 1$.

Уравнение прямой $3x + y = 3$ приведем к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$3x + y - 3 = 0$

Расстояние d от точки $(x_0; y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим координаты центра окружности $C(4; 2)$ и коэффициенты прямой $A=3, B=1, C=-3$ в формулу:

$d = \frac{|3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 - 3|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|12 + 2 - 3|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|11|}{\sqrt{10}} = \frac{11}{\sqrt{10}}$

Теперь сравним расстояние d и радиус r. Мы имеем $d = \frac{11}{\sqrt{10}}$ и $r = 1$.

Чтобы строго доказать, что $d > r$, сравним квадраты этих величин (так как обе они положительны):

$d^2 = \left(\frac{11}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{121}{10} = 12.1$

$r^2 = 1^2 = 1$

Так как $12.1 > 1$, то $d^2 > r^2$, а значит и $d > r$.

Поскольку расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, у них нет общих точек.

Ответ: Окружность и прямая не имеют общих точек, так как расстояние от центра окружности до прямой больше ее радиуса, что и требовалось доказать.

375. Найдите расстояние от начала координат до прямой $5x - 2y = 10$.

Для нахождения расстояния от точки до прямой используется формула. Расстояние $d$ от точки с координатами $(x_0, y_0)$ до прямой, заданной в общем виде $Ax + By + C = 0$, вычисляется как:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В данной задаче точкой является начало координат, то есть точка $O(0, 0)$. Таким образом, $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$.

Уравнение прямой $5x - 2y = 10$ необходимо привести к общему виду $Ax + By + C = 0$. Для этого перенесем 10 в левую часть уравнения:

$5x - 2y - 10 = 0$

Из этого уравнения находим коэффициенты: $A = 5$, $B = -2$, $C = -10$.

Подставим все известные значения в формулу расстояния и выполним вычисления:

$d = \frac{|5 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 - 10|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2}}$

$d = \frac{|-10|}{\sqrt{25 + 4}} = \frac{10}{\sqrt{29}}$

Для получения ответа в стандартном виде избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{29}$:

$d = \frac{10}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}} = \frac{10\sqrt{29}}{29}$

Ответ: $\frac{10\sqrt{29}}{29}$

376. Найти расстояние от начала координат до прямой $x + y = -8$.

Для того чтобы найти расстояние от точки до прямой, используется формула расстояния от точки с координатами $(x_0, y_0)$ до прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$. Формула выглядит следующим образом:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

1. Сначала приведем уравнение прямой $x + y = -8$ к общему виду $Ax + By + C = 0$. Для этого перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x + y + 8 = 0$

Из этого уравнения можно определить коэффициенты: $A = 1$, $B = 1$, $C = 8$.

2. Точка, от которой необходимо найти расстояние, — это начало координат. Координаты начала координат — $O(0, 0)$. Следовательно, $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$.

3. Теперь подставим значения коэффициентов и координат точки в формулу расстояния:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 8|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$

4. Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

$d = \frac{|0 + 0 + 8|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|8|}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}}$

5. Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$d = \frac{8}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

Таким образом, расстояние от начала координат до прямой $x + y = -8$ составляет $4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.

377. Найти длину хорды окружности $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$, лежащей на прямой $y = 3x$.

Длина хорды — это расстояние между точками пересечения окружности и прямой. Чтобы найти координаты этих точек, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения прямой.

Уравнение окружности: $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 25$

Уравнение прямой: $y = 3x$

Подставим выражение для $y$ из уравнения прямой в уравнение окружности:

$(x+1)^2 + (3x-2)^2 = 25$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x + 1) + (9x^2 - 12x + 4) = 25$

$10x^2 - 10x + 5 = 25$

$10x^2 - 10x - 20 = 0$

Разделим обе части уравнения на 10, чтобы упростить его:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 2$

$x_2 = -1$

Теперь найдём соответствующие значения $y$ для каждой точки пересечения, подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = 3x$:

Для $x_1 = 2$: $y_1 = 3 \cdot 2 = 6$. Координаты первой точки пересечения $A(2, 6)$.

Для $x_2 = -1$: $y_2 = 3 \cdot (-1) = -3$. Координаты второй точки пересечения $B(-1, -3)$.

Длина хорды равна расстоянию между точками $A$ и $B$. Вычислим это расстояние по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-3 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90}$

Упростим полученное значение:

$\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$

Ответ: $3\sqrt{10}$

378. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A (1;-7)$ и $B (-3;5)$.

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две заданные точки $A$ и $B$, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Каждая точка этого перпендикуляра равноудалена от точек $A$ и $B$.

Пусть $C(x; y)$ — произвольная точка искомого геометрического места, то есть центр окружности. Тогда расстояние от $C$ до $A$ должно быть равно расстоянию от $C$ до $B$. Запишем это условие в виде равенства квадратов расстояний, чтобы избежать использования квадратных корней: $CA^2 = CB^2$.

Координаты данных точек: $A(1; -7)$ и $B(-3; 5)$.

Квадрат расстояния $CA^2$ вычисляется по формуле:

$CA^2 = (x - 1)^2 + (y - (-7))^2 = (x - 1)^2 + (y + 7)^2$

Квадрат расстояния $CB^2$ вычисляется по формуле:

$CB^2 = (x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = (x + 3)^2 + (y - 5)^2$

Приравняем эти два выражения:

$(x - 1)^2 + (y + 7)^2 = (x + 3)^2 + (y - 5)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 14y + 49 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25$

Упростим уравнение, сократив $x^2$ и $y^2$ в обеих частях:

$-2x + 14y + 50 = 6x - 10y + 34$

Соберем все члены с переменными в одной части, а свободные члены — в другой:

$50 - 34 = 6x + 2x - 10y - 14y$

$16 = 8x - 24y$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 8:

$2 = x - 3y$

Запишем уравнение в общем виде $Ax + By + C = 0$:

$x - 3y - 2 = 0$

Ответ: $x - 3y - 2 = 0$.

379. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $C (2; 3)$ и $D (-5; -2)$.

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две заданные точки $C$ и $D$, является множеством всех точек, равноудаленных от точек $C$ и $D$. Такое геометрическое место точек представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку $CD$.

Пусть $O(x; y)$ — произвольная точка искомого геометрического места, то есть центр окружности, проходящей через точки $C(2; 3)$ и $D(-5; -2)$. Тогда расстояние от точки $O$ до точки $C$ должно быть равно расстоянию от точки $O$ до точки $D$.

Расстояние $OC$ вычисляется по формуле:

$OC = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}$

Расстояние $OD$ вычисляется по формуле:

$OD = \sqrt{(x - (-5))^2 + (y - (-2))^2} = \sqrt{(x + 5)^2 + (y + 2)^2}$

Так как $OC = OD$, то и их квадраты равны: $OC^2 = OD^2$. Это позволяет избавиться от квадратных корней.

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x + 5)^2 + (y + 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 + 10x + 25) + (y^2 + 4y + 4)$

Слагаемые $x^2$ и $y^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются. Приведем подобные слагаемые:

$-4x - 6y + 13 = 10x + 4y + 29$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$-4x - 10x - 6y - 4y + 13 - 29 = 0$

$-14x - 10y - 16 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить положительные коэффициенты при переменных:

$14x + 10y + 16 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$7x + 5y + 8 = 0$

Это уравнение прямой, которая и является искомым геометрическим местом точек.

Ответ: $7x + 5y + 8 = 0$

380. Найдите координаты точки, равноудаленной от осей координат и от точки $A (3; 6)$.

Пусть искомая точка имеет координаты $M(x; y)$.

Расстояние от точки $M(x; y)$ до оси абсцисс (оси Ox) равно $|y|$, а расстояние до оси ординат (оси Oy) равно $|x|$. По условию задачи, точка равноудалена от осей координат, следовательно, должно выполняться равенство: $|x| = |y|$.

Равенство $|x| = |y|$ возможно в двух случаях:
1. $y = x$ (точки, лежащие на биссектрисе первого и третьего координатных углов).
2. $y = -x$ (точки, лежащие на биссектрисе второго и четвертого координатных углов).

Расстояние от точки $M(x; y)$ до точки $A(3; 6)$ находится по формуле расстояния между двумя точками:
$d(M, A) = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 6)^2}$

По условию, это расстояние равно расстоянию от точки $M$ до осей координат. Таким образом, мы получаем уравнение:
$\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 6)^2} = |x|$ (или $|y|$, так как они равны).

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = x^2$

Теперь рассмотрим два случая, которые мы определили ранее.

Случай 1: $y = x$
Подставим $y = x$ в наше уравнение:
$(x - 3)^2 + (x - 6)^2 = x^2$
Раскроем скобки:
$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 12x + 36) = x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - 18x + 45 = x^2$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 18x + 45 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна 18, а их произведение равно 45. Корни легко подбираются: $x_1 = 3$ и $x_2 = 15$.
Найдем соответствующие значения $y$, помня, что $y = x$:
При $x_1 = 3$, $y_1 = 3$. Получаем точку $(3; 3)$.
При $x_2 = 15$, $y_2 = 15$. Получаем точку $(15; 15)$.

Случай 2: $y = -x$
Подставим $y = -x$ в наше уравнение:
$(x - 3)^2 + (-x - 6)^2 = x^2$
Упростим второе слагаемое: $(-x - 6)^2 = (-(x + 6))^2 = (x + 6)^2$.
$(x - 3)^2 + (x + 6)^2 = x^2$
Раскроем скобки:
$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 12x + 36) = x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 6x + 45 = x^2$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$x^2 + 6x + 45 = 0$
Вычислим дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 36 - 180 = -144$
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что в этом случае решений нет.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют только две точки, найденные в первом случае.
Ответ: $(3; 3)$ и $(15; 15)$.

381. Найдите координаты точки, равноудаленной от осей координат и от точки $B (-4; 2)$.

Пусть искомая точка имеет координаты $M(x; y)$.

Условие "точка равноудалена от осей координат" означает, что расстояние от точки $M$ до оси $Ox$ равно расстоянию от точки $M$ до оси $Oy$. Расстояние от точки $M(x; y)$ до оси $Ox$ равно $|y|$, а до оси $Oy$ — $|x|$. Таким образом, мы получаем первое уравнение:
$|x| = |y|$.
Это равенство возможно в двух случаях:
1) $y = x$ (точки лежат на биссектрисе I и III координатных четвертей).
2) $y = -x$ (точки лежат на биссектрисе II и IV координатных четвертей).

Условие "точка равноудалена ... и от точки $B(-4; 2)$" означает, что расстояние от точки $M$ до точки $B$ равно расстоянию от точки $M$ до осей координат. Обозначим это расстояние как $d$. Тогда $d = MB$ и $d = |x| = |y|$.
Следовательно, $MB = |x|$.

Квадрат расстояния между точками $M(x; y)$ и $B(-4; 2)$ равен:
$MB^2 = (x - (-4))^2 + (y - 2)^2 = (x+4)^2 + (y-2)^2$.
Так как $MB = |x|$, то $MB^2 = |x|^2 = x^2$.
Получаем второе уравнение:
$(x+4)^2 + (y-2)^2 = x^2$.

Теперь необходимо решить систему уравнений, рассмотрев два случая для $y$.

Случай 1: $y = x$
Подставим $y = x$ во второе уравнение:
$(x+4)^2 + (x-2)^2 = x^2$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(x^2 + 8x + 16) + (x^2 - 4x + 4) = x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 4x + 20 = x^2$
$x^2 + 4x + 20 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 16 - 80 = -64$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Значит, на прямой $y=x$ нет точек, удовлетворяющих условию задачи.

Случай 2: $y = -x$
Подставим $y = -x$ во второе уравнение:
$(x+4)^2 + (-x-2)^2 = x^2$
Заметим, что $(-x-2)^2 = (-(x+2))^2 = (x+2)^2$. Уравнение принимает вид:
$(x+4)^2 + (x+2)^2 = x^2$
Раскроем скобки:
$(x^2 + 8x + 16) + (x^2 + 4x + 4) = x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 12x + 20 = x^2$
$x^2 + 12x + 20 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-12$, а их произведение равно $20$. Легко подобрать корни:
$x_1 = -10$
$x_2 = -2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = -x$:
При $x_1 = -10$, $y_1 = -(-10) = 10$. Координаты первой точки: $(-10; 10)$.
При $x_2 = -2$, $y_2 = -(-2) = 2$. Координаты второй точки: $(-2; 2)$.

Таким образом, существуют две точки, удовлетворяющие заданным условиям.
Ответ: $(-10; 10)$ и $(-2; 2)$.

382. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки $A (2; 0)$ и $B (4; 0)$, центр которой принадлежит прямой $2x + 3y = 18$.

Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус. Для решения задачи нам необходимо найти $x_0$, $y_0$ и $R^2$.

1. Нахождение координат центра окружности.

Центр окружности равноудален от любых двух точек на ней. Следовательно, центр должен лежать на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему точки $A(2; 0)$ и $B(4; 0)$.

Найдем координаты середины отрезка $AB$: $x_{ср} = \frac{2 + 4}{2} = 3$
$y_{ср} = \frac{0 + 0}{2} = 0$

Так как точки $A$ и $B$ лежат на оси $Ox$, отрезок $AB$ горизонтален. Серединный перпендикуляр к нему — это вертикальная прямая, проходящая через середину отрезка. Уравнение этой прямой: $x = 3$.

Таким образом, абсцисса центра окружности $x_0 = 3$.

По условию, центр окружности $(x_0; y_0)$ принадлежит прямой $2x + 3y = 18$. Подставим найденное значение $x_0 = 3$ в уравнение прямой, чтобы найти $y_0$:
$2 \cdot 3 + 3y_0 = 18$
$6 + 3y_0 = 18$
$3y_0 = 18 - 6$
$3y_0 = 12$
$y_0 = 4$

Итак, центр окружности находится в точке $O(3; 4)$.

2. Нахождение радиуса окружности.

Радиус окружности $R$ — это расстояние от центра до любой точки на окружности, например, до точки $A(2; 0)$. Найдем квадрат радиуса, используя формулу расстояния между двумя точками:
$R^2 = (x_A - x_0)^2 + (y_A - y_0)^2 = (2 - 3)^2 + (0 - 4)^2 = (-1)^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$.

3. Составление уравнения окружности.

Подставим найденные координаты центра $(x_0; y_0) = (3; 4)$ и квадрат радиуса $R^2=17$ в общее уравнение окружности:
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 17$.

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 17$.

383. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 5 и которые отсекают на оси абсцисс хорду длиной 6.

Пусть центр окружности, принадлежащей искомому геометрическому месту точек, имеет координаты $(x, y)$. Мы ищем уравнение, связывающее координаты $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, радиус каждой такой окружности равен $R = 5$. Также известно, что окружность отсекает на оси абсцисс (оси $Ox$) хорду длиной 6.

Рассмотрим треугольник, вершинами которого являются центр окружности $C(x, y)$ и концы хорды, лежащие на оси $Ox$. Обозначим концы хорды как $A$ и $B$. Треугольник $ACB$ является равнобедренным, так как $AC = BC = R = 5$.

Проведем из центра $C$ перпендикуляр $CM$ к хорде $AB$ (и, следовательно, к оси $Ox$). Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $C(x, y)$ до оси $Ox$, то есть $|y|$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит хорду пополам. Длина отрезка $AM$ (половина хорды) равна $6 / 2 = 3$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$. Его гипотенуза — это радиус $AC = R = 5$, а катеты — это $AM = 3$ и $CM = |y|$.

По теореме Пифагора:

$CM^2 + AM^2 = AC^2$

Подставим известные значения:

$|y|^2 + 3^2 = 5^2$

$y^2 + 9 = 25$

Решим уравнение относительно $y$:

$y^2 = 25 - 9$

$y^2 = 16$

Отсюда $y = \pm 4$.

Это уравнение не зависит от координаты $x$, что означает, что абсцисса центра окружности может быть любой. Таким образом, геометрическое место центров окружностей представляет собой две прямые, параллельные оси абсцисс: $y = 4$ и $y = -4$. Эти два уравнения можно записать в виде одного.

Ответ: $y^2 - 16 = 0$.

384. Диагонали параллелограмма равны $6\sqrt{2}$ см и 8 см, а угол между ними составляет $45^\circ$. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм, диагонали которого $d_1 = 6\sqrt{2}$ см и $d_2 = 8$ см, а угол между ними составляет $45^\circ$. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Известно, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, половины диагоналей будут равны:
$\frac{d_1}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см
$\frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см

Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника. Стороны параллелограмма являются основаниями этих треугольников. Рассмотрим один из таких треугольников. Две его стороны — это половины диагоналей, а угол между ними — это угол между диагоналями, то есть $45^\circ$. Третью сторону треугольника (которая является стороной параллелограмма) можно найти по теореме косинусов.

Пусть $a$ — одна из сторон параллелограмма. По теореме косинусов:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(45^\circ)$
$a^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ)$
$a^2 = (9 \cdot 2) + 16 - 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$a^2 = 18 + 16 - 24 \cdot \frac{2}{2}$
$a^2 = 34 - 24$
$a^2 = 10$
$a = \sqrt{10}$ см

Для нахождения второй стороны параллелограмма, $b$, нужно рассмотреть смежный треугольник. Угол между половинами диагоналей в этом треугольнике будет смежным с углом $45^\circ$, то есть он будет равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Снова применим теорему косинусов:
$b^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(135^\circ)$
$b^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ)$
Поскольку $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$b^2 = 18 + 16 - 24\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$b^2 = 34 + 24 \cdot \frac{2}{2}$
$b^2 = 34 + 24$
$b^2 = 58$
$b = \sqrt{58}$ см

Таким образом, стороны параллелограмма равны $\sqrt{10}$ см и $\sqrt{58}$ см.

Ответ: $\sqrt{10}$ см и $\sqrt{58}$ см.

385. Одна из сторон треугольника на 15 см больше другой, а высота, проведённая к третьей стороне, делит её на отрезки длиной 32 см и 7 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Обозначим сторону, к которой проведена высота, как $c$. Согласно условию, высота делит эту сторону на отрезки длиной 32 см и 7 см. Следовательно, длина стороны $c$ равна:

$c = 32 + 7 = 39$ см.

Высота, обозначим ее $h$, делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника. Две другие стороны, $a$ и $b$, являются гипотенузами этих прямоугольных треугольников, а высота $h$ — их общим катетом.

Применим теорему Пифагора для каждого из этих двух прямоугольных треугольников. Пусть сторона $a$ прилегает к отрезку длиной 7 см, а сторона $b$ — к отрезку длиной 32 см.

$a^2 = h^2 + 7^2$

$b^2 = h^2 + 32^2$

Из этих уравнений видно, что $b^2 > a^2$, а значит $b > a$, поскольку сторона, противолежащая большему катету (32 см), будет длиннее.

По условию задачи, одна из этих сторон на 15 см больше другой. Так как мы установили, что $b > a$, то именно сторона $b$ будет на 15 см больше стороны $a$:

$b = a + 15$

Теперь у нас есть система уравнений. Выразим $h^2$ из обоих уравнений теоремы Пифагора и приравняем полученные выражения:

$h^2 = a^2 - 7^2$

$h^2 = b^2 - 32^2$

Следовательно:

$a^2 - 7^2 = b^2 - 32^2$

Подставим в это равенство $b = a + 15$:

$a^2 - 49 = (a + 15)^2 - 1024$

Раскроем скобки:

$a^2 - 49 = a^2 + 30a + 225 - 1024$

$a^2 - 49 = a^2 + 30a - 799$

Упростим уравнение, вычтя $a^2$ из обеих частей:

$-49 = 30a - 799$

Теперь решим это линейное уравнение:

$30a = 799 - 49$

$30a = 750$

$a = \frac{750}{30} = 25$ см.

Теперь найдем длину стороны $b$:

$b = a + 15 = 25 + 15 = 40$ см.

Итак, мы нашли длины всех трех сторон треугольника: 25 см, 40 см и 39 см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c = 25 + 40 + 39 = 104$ см.

Ответ: 104 см.