Номер 377, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

377. Найти длину хорды окружности $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$, лежащей на прямой $y = 3x$.

Длина хорды — это расстояние между точками пересечения окружности и прямой. Чтобы найти координаты этих точек, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения прямой.

Уравнение окружности: $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 25$

Уравнение прямой: $y = 3x$

Подставим выражение для $y$ из уравнения прямой в уравнение окружности:

$(x+1)^2 + (3x-2)^2 = 25$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x + 1) + (9x^2 - 12x + 4) = 25$

$10x^2 - 10x + 5 = 25$

$10x^2 - 10x - 20 = 0$

Разделим обе части уравнения на 10, чтобы упростить его:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 2$

$x_2 = -1$

Теперь найдём соответствующие значения $y$ для каждой точки пересечения, подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = 3x$:

Для $x_1 = 2$: $y_1 = 3 \cdot 2 = 6$. Координаты первой точки пересечения $A(2, 6)$.

Для $x_2 = -1$: $y_2 = 3 \cdot (-1) = -3$. Координаты второй точки пересечения $B(-1, -3)$.

Длина хорды равна расстоянию между точками $A$ и $B$. Вычислим это расстояние по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-3 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90}$

Упростим полученное значение:

$\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$

Ответ: $3\sqrt{10}$