Номер 372, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

372. Докажите, что окружность $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 9$ и прямая $x + y = 7$ пересекаются, и найдите координаты их точек пересечения.

Доказательство того, что окружность и прямая пересекаются

Чтобы доказать, что окружность $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 9$ и прямая $x + y = 7$ пересекаются, необходимо решить систему их уравнений. Если система имеет действительные решения, это означает, что у фигур есть общие точки, то есть они пересекаются.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} (x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 9 \\ x + y = 7 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 7 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x - 5)^2 + ((7 - x) - 5)^2 = 9$

$(x - 5)^2 + (2 - x)^2 = 9$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 10x + 25) + (4 - 4x + x^2) = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 14x + 29 = 9$

$2x^2 - 14x + 20 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Для того чтобы определить, есть ли у этого квадратного уравнения действительные корни, вычислим его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

Так как дискриминант $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это доказывает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Ответ: Утверждение доказано.

Нахождение координат точек пересечения

Координаты $x$ точек пересечения являются корнями уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$, которое мы получили в предыдущем пункте. Найдем эти корни, используя формулу для решения квадратных уравнений и найденный дискриминант $D=9$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 3}{2}$

Вычислим оба корня:

$x_1 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$ из уравнения прямой $y = 7 - x$:

Для $x_1 = 2$: $y_1 = 7 - 2 = 5$. Первая точка пересечения — $(2, 5)$.

Для $x_2 = 5$: $y_2 = 7 - 5 = 2$. Вторая точка пересечения — $(5, 2)$.

Ответ: $(2, 5)$ и $(5, 2)$.