Номер 368, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

368. Абсциссы середин боковых сторон трапеции равны. Верно ли утверждение, что основания трапеции перпендикулярны оси абсцисс?

Давайте проанализируем данное утверждение с помощью аналитической геометрии.

Пусть вершины трапеции $ABCD$ имеют следующие координаты в декартовой системе: $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$ и $D(x_D, y_D)$. Предположим, что $AD$ и $BC$ — это основания трапеции, а $AB$ и $CD$ — её боковые стороны.

Найдём координаты середин боковых сторон.Пусть точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Её координаты равны:$M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$Пусть точка $N$ — середина боковой стороны $CD$. Её координаты равны:$N\left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right)$

Согласно условию задачи, абсциссы (координаты по оси $x$) этих точек равны. Запишем это математически:$x_M = x_N$$\frac{x_A + x_B}{2} = \frac{x_C + x_D}{2}$

Отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является её средней линией. Условие $x_M = x_N$ означает, что точки $M$ и $N$ имеют одинаковую абсциссу. Геометрически это значит, что прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, является вертикальной, то есть она параллельна оси ординат ($Oy$) и, следовательно, перпендикулярна оси абсцисс ($Ox$).

Одним из фундаментальных свойств трапеции является то, что её средняя линия параллельна её основаниям. То есть, $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Поскольку основания $AD$ и $BC$ параллельны средней линии $MN$, а средняя линия $MN$ перпендикулярна оси абсцисс, то и сами основания должны быть перпендикулярны оси абсцисс.

Прямая, перпендикулярная оси абсцисс, является вертикальной линией. Для любой вертикальной прямой все её точки имеют одну и ту же абсциссу. Таким образом, для основания $AD$ должно выполняться условие $x_A = x_D$, а для основания $BC$ — условие $x_B = x_C$.

Следовательно, исходное утверждение верно. Если абсциссы середин боковых сторон трапеции равны, то её основания перпендикулярны оси абсцисс.

Ответ: Да, утверждение верно.