Номер 369, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

369. Найдите периметр треугольника, ограниченного осями координат и прямой $4x - 3y = 12$.

Для того чтобы найти периметр треугольника, нам нужно определить длины всех его сторон. Этот треугольник образован осями координат (осью Ox и осью Oy) и прямой, заданной уравнением $4x - 3y = 12$. Вершины этого треугольника — это точки, в которых эти три линии пересекаются друг с другом.

1. Найдем точку пересечения прямой $4x - 3y = 12$ с осью абсцисс (Ox). На этой оси координата $y$ всегда равна нулю. Подставим $y = 0$ в уравнение прямой:

$4x - 3(0) = 12$

$4x = 12$

$x = 3$

Таким образом, первая вершина треугольника находится в точке A с координатами $(3, 0)$.

2. Найдем точку пересечения прямой $4x - 3y = 12$ с осью ординат (Oy). На этой оси координата $x$ всегда равна нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение прямой:

$4(0) - 3y = 12$

$-3y = 12$

$y = -4$

Таким образом, вторая вершина треугольника находится в точке B с координатами $(0, -4)$.

3. Третья вершина треугольника — это точка пересечения осей координат Ox и Oy. Это начало координат, точка O с координатами $(0, 0)$.

В результате мы получили прямоугольный треугольник AOB, у которого катеты лежат на осях координат, а прямой угол находится в начале координат (точка O).

Теперь вычислим длины сторон этого треугольника:

• Длина катета OA (отрезок на оси Ox от $0$ до $3$) равна $3$.
• Длина катета OB (отрезок на оси Oy от $0$ до $-4$) равна $|-4| = 4$.
• Длину гипотенузы AB найдем по теореме Пифагора, так как треугольник AOB прямоугольный: $AB^2 = OA^2 + OB^2$.

$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = OA + OB + AB = 3 + 4 + 5 = 12$.

Ответ: 12.