Номер 364, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

364. Найдите координаты точки пересечения прямых:

1) $y = 3x - 7$ и $y = 5x + 9$;

2) $2x - 7y = -16$ и $6x + 11y = 16$.

1) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых. В точке пересечения координаты $x$ и $y$ для обеих прямых одинаковы.

Даны уравнения прямых: $y = 3x - 7$ и $y = 5x + 9$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} y = 3x - 7 \\ y = 5x + 9 \end{cases}$

Так как левые части уравнений равны, приравняем их правые части:

$3x - 7 = 5x + 9$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x - 5x = 9 + 7$

$-2x = 16$

$x = \frac{16}{-2}$

$x = -8$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -8$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 3(-8) - 7 = -24 - 7 = -31$

Проверим, подставив во второе уравнение:

$y = 5(-8) + 9 = -40 + 9 = -31$

Координаты точки пересечения: $(-8; -31)$.

Ответ: $(-8; -31)$.

2) Даны уравнения прямых: $2x - 7y = -16$ и $6x + 11y = 16$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x - 7y = -16 \\ 6x + 11y = 16 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$-3 \cdot (2x - 7y) = -3 \cdot (-16)$

$-6x + 21y = 48$

Теперь наша система выглядит так:

$\begin{cases} -6x + 21y = 48 \\ 6x + 11y = 16 \end{cases}$

Сложим почленно два уравнения системы:

$(-6x + 21y) + (6x + 11y) = 48 + 16$

$32y = 64$

$y = \frac{64}{32}$

$y = 2$

Теперь подставим найденное значение $y=2$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $x$. Возьмем первое уравнение $2x - 7y = -16$:

$2x - 7 \cdot 2 = -16$

$2x - 14 = -16$

$2x = -16 + 14$

$2x = -2$

$x = -1$

Координаты точки пересечения: $(-1; 2)$.

Ответ: $(-1; 2)$.