Номер 371, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

371. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми $3x + 2y = 6$ и $y = -\frac{9}{4}x$ и осью ординат.

Для того чтобы найти площадь треугольника, сначала необходимо определить координаты его вершин. Вершины треугольника являются точками пересечения прямых, которые его ограничивают.

Нам даны три линии:

• Прямая 1: $3x + 2y = 6$
• Прямая 2: $y = -\frac{9}{4}x$
• Прямая 3: Ось ординат, уравнение которой $x=0$.

Найдем координаты вершин треугольника, решая системы уравнений для каждой пары прямых.

1. Нахождение первой вершины (пересечение Прямой 1 и Прямой 2)

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ y = -\frac{9}{4}x \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$3x + 2\left(-\frac{9}{4}x\right) = 6$

$3x - \frac{9}{2}x = 6$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$6x - 9x = 12$

$-3x = 12$

$x = -4$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:

$y = -\frac{9}{4}(-4) = 9$

Таким образом, первая вершина — точка A(-4, 9).

2. Нахождение второй вершины (пересечение Прямой 1 и Прямой 3)

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ x = 0 \end{cases}$

Подставим $x = 0$ в первое уравнение:

$3(0) + 2y = 6$

$2y = 6$

$y = 3$

Таким образом, вторая вершина — точка B(0, 3).

3. Нахождение третьей вершины (пересечение Прямой 2 и Прямой 3)

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -\frac{9}{4}x \\ x = 0 \end{cases}$

Подставим $x = 0$ в первое уравнение:

$y = -\frac{9}{4}(0) = 0$

Таким образом, третья вершина — точка C(0, 0), которая является началом координат.

4. Вычисление площади треугольника

Мы нашли вершины треугольника: A(-4, 9), B(0, 3) и C(0, 0). Две вершины, B(0, 3) и C(0, 0), лежат на оси ординат (оси OY). Мы можем использовать отрезок BC в качестве основания треугольника. Длина основания BC равна расстоянию между точками B и C: $a = |y_B - y_C| = |3 - 0| = 3$.

Высота треугольника $h$, проведенная из вершины A к основанию BC (лежащему на оси OY), равна абсолютному значению абсциссы (координаты x) точки A: $h = |x_A| = |-4| = 4$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{12}{2} = 6$.

Ответ: 6