Номер 374, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

374. Докажите, что окружность $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 1$ и прямая $3x + y = 3$ не имеют общих точек.

Чтобы доказать, что окружность и прямая не имеют общих точек, можно пойти двумя путями: решить систему уравнений или найти расстояние от центра окружности до прямой и сравнить его с радиусом.

Способ 1. Алгебраический

Если у окружности и прямой есть общие точки, то их координаты должны удовлетворять системе уравнений:

$\begin{cases} (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 1 \\ 3x + y = 3 \end{cases}$

Выразим y из второго уравнения: $y = 3 - 3x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x - 4)^2 + ((3 - 3x) - 2)^2 = 1$

$(x - 4)^2 + (1 - 3x)^2 = 1$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности:

$(x^2 - 8x + 16) + (1 - 6x + 9x^2) = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$10x^2 - 14x + 17 = 1$

$10x^2 - 14x + 16 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$5x^2 - 7x + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$, чтобы определить количество решений:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 49 - 160 = -111$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что система уравнений не имеет решений, и, следовательно, у окружности и прямой нет общих точек.

Ответ: Окружность и прямая не имеют общих точек, так как система их уравнений не имеет действительных решений, что и требовалось доказать.

Способ 2. Геометрический

Взаимное расположение прямой и окружности зависит от соотношения между радиусом окружности r и расстоянием от ее центра до прямой d. Если $d > r$, то общих точек нет.

Уравнение окружности дано в виде $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Для нашей окружности $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 1$ имеем: координаты центра $C(4; 2)$ и радиус $r = \sqrt{1} = 1$.

Уравнение прямой $3x + y = 3$ приведем к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$3x + y - 3 = 0$

Расстояние d от точки $(x_0; y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим координаты центра окружности $C(4; 2)$ и коэффициенты прямой $A=3, B=1, C=-3$ в формулу:

$d = \frac{|3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 - 3|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|12 + 2 - 3|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|11|}{\sqrt{10}} = \frac{11}{\sqrt{10}}$

Теперь сравним расстояние d и радиус r. Мы имеем $d = \frac{11}{\sqrt{10}}$ и $r = 1$.

Чтобы строго доказать, что $d > r$, сравним квадраты этих величин (так как обе они положительны):

$d^2 = \left(\frac{11}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{121}{10} = 12.1$

$r^2 = 1^2 = 1$

Так как $12.1 > 1$, то $d^2 > r^2$, а значит и $d > r$.

Поскольку расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, у них нет общих точек.

Ответ: Окружность и прямая не имеют общих точек, так как расстояние от центра окружности до прямой больше ее радиуса, что и требовалось доказать.