Номер 379, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

379. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $C (2; 3)$ и $D (-5; -2)$.

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две заданные точки $C$ и $D$, является множеством всех точек, равноудаленных от точек $C$ и $D$. Такое геометрическое место точек представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку $CD$.

Пусть $O(x; y)$ — произвольная точка искомого геометрического места, то есть центр окружности, проходящей через точки $C(2; 3)$ и $D(-5; -2)$. Тогда расстояние от точки $O$ до точки $C$ должно быть равно расстоянию от точки $O$ до точки $D$.

Расстояние $OC$ вычисляется по формуле:

$OC = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}$

Расстояние $OD$ вычисляется по формуле:

$OD = \sqrt{(x - (-5))^2 + (y - (-2))^2} = \sqrt{(x + 5)^2 + (y + 2)^2}$

Так как $OC = OD$, то и их квадраты равны: $OC^2 = OD^2$. Это позволяет избавиться от квадратных корней.

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x + 5)^2 + (y + 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 + 10x + 25) + (y^2 + 4y + 4)$

Слагаемые $x^2$ и $y^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются. Приведем подобные слагаемые:

$-4x - 6y + 13 = 10x + 4y + 29$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$-4x - 10x - 6y - 4y + 13 - 29 = 0$

$-14x - 10y - 16 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить положительные коэффициенты при переменных:

$14x + 10y + 16 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$7x + 5y + 8 = 0$

Это уравнение прямой, которая и является искомым геометрическим местом точек.

Ответ: $7x + 5y + 8 = 0$