Номер 384, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

384. Диагонали параллелограмма равны $6\sqrt{2}$ см и 8 см, а угол между ними составляет $45^\circ$. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм, диагонали которого $d_1 = 6\sqrt{2}$ см и $d_2 = 8$ см, а угол между ними составляет $45^\circ$. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Известно, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, половины диагоналей будут равны:
$\frac{d_1}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см
$\frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см

Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника. Стороны параллелограмма являются основаниями этих треугольников. Рассмотрим один из таких треугольников. Две его стороны — это половины диагоналей, а угол между ними — это угол между диагоналями, то есть $45^\circ$. Третью сторону треугольника (которая является стороной параллелограмма) можно найти по теореме косинусов.

Пусть $a$ — одна из сторон параллелограмма. По теореме косинусов:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(45^\circ)$
$a^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ)$
$a^2 = (9 \cdot 2) + 16 - 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$a^2 = 18 + 16 - 24 \cdot \frac{2}{2}$
$a^2 = 34 - 24$
$a^2 = 10$
$a = \sqrt{10}$ см

Для нахождения второй стороны параллелограмма, $b$, нужно рассмотреть смежный треугольник. Угол между половинами диагоналей в этом треугольнике будет смежным с углом $45^\circ$, то есть он будет равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Снова применим теорему косинусов:
$b^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(135^\circ)$
$b^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ)$
Поскольку $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$b^2 = 18 + 16 - 24\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$b^2 = 34 + 24 \cdot \frac{2}{2}$
$b^2 = 34 + 24$
$b^2 = 58$
$b = \sqrt{58}$ см

Таким образом, стороны параллелограмма равны $\sqrt{10}$ см и $\sqrt{58}$ см.

Ответ: $\sqrt{10}$ см и $\sqrt{58}$ см.