Номер 4, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Как связаны угловой коэффициент прямой и угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс?

4. Угловой коэффициент прямой и угол, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, связаны друг с другом через тригонометрическую функцию тангенс. Эта связь представляет собой геометрический смысл углового коэффициента.

Угловой коэффициент, обычно обозначаемый как $k$, является числовой характеристикой наклона прямой. Он присутствует в уравнении прямой вида $y = kx + b$.

Угол наклона прямой, обозначаемый как $\alpha$, — это угол, измеряемый в направлении против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс (оси Ox) до самой прямой. Для прямых, непараллельных оси ординат, этот угол находится в диапазоне $0 \le \alpha < 180^\circ$ (или $0 \le \alpha < \pi$), причем $\alpha \neq 90^\circ$.

Фундаментальная формула, связывающая угловой коэффициент $k$ и угол наклона $\alpha$, выглядит следующим образом:

$k = \tan(\alpha)$

Обоснование:
Рассмотрим прямую, непараллельную осям координат. Выберем на ней две различные точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. По определению, угловой коэффициент $k$ равен отношению приращения ординаты ($\Delta y$) к приращению абсциссы ($\Delta x$):$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Теперь построим прямоугольный треугольник, в котором отрезок $AB$ является гипотенузой, а катеты параллельны осям координат. Длина катета, прилежащего к углу $\alpha$, равна $x_2 - x_1$, а длина противолежащего катета — $y_2 - y_1$. Угол наклона прямой $\alpha$ равен углу, образованному гипотенузой $AB$ и горизонтальным катетом.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике мы знаем, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Сравнивая два полученных выражения, мы видим, что они равны. Следовательно, $k = \tan(\alpha)$.

Анализ этой зависимости:

• Если прямая "возрастает" (идет вверх слева направо), то угол наклона $\alpha$ является острым ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Тангенс острого угла положителен, поэтому и угловой коэффициент $k > 0$.
• Если прямая "убывает" (идет вниз слева направо), то угол наклона $\alpha$ является тупым ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Тангенс тупого угла отрицателен, поэтому и угловой коэффициент $k < 0$.
• Если прямая горизонтальна и параллельна оси Ox, то ее угол наклона $\alpha = 0^\circ$. В этом случае $k = \tan(0^\circ) = 0$.
• Если прямая вертикальна и параллельна оси Oy, то ее угол наклона $\alpha = 90^\circ$. Тангенс угла $90^\circ$ не определен, поэтому для вертикальной прямой понятие углового коэффициента не применяется.

Таким образом, зная угол наклона прямой, можно однозначно определить ее угловой коэффициент, и наоборот (с учетом области значений арктангенса).

Ответ: Угловой коэффициент прямой $k$ равен тангенсу угла наклона $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс. Эта зависимость выражается формулой $k = \tan(\alpha)$.