Номер 5, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Сформулируйте необходимое и достаточное условие параллельности двух невертикальных прямых на координатной плоскости.

Необходимое и достаточное условие параллельности двух невертикальных прямых на координатной плоскости формулируется через их угловые коэффициенты.

Любую невертикальную прямую на координатной плоскости можно задать уравнением вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

Рассмотрим две невертикальные прямые $l_1$ и $l_2$, заданные уравнениями:

$l_1: y = k_1x + b_1$

$l_2: y = k_2x + b_2$

Формулировка условия: Две невертикальные прямые на координатной плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.

В виде формулы это записывается так: $l_1 \parallel l_2 \iff k_1 = k_2$.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей: необходимости и достаточности.

Необходимость

Докажем, что если две невертикальные прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны. Это означает, что они либо не пересекаются, либо совпадают. Докажем от противного, что $k_1=k_2$. Предположим, что $k_1 \neq k_2$.Чтобы найти точки пересечения прямых, решим систему уравнений:$ \begin{cases} y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2 \end{cases} $Приравняв правые части уравнений, получим:$k_1x + b_1 = k_2x + b_2$Сгруппируем слагаемые:$(k_1 - k_2)x = b_2 - b_1$Так как мы предположили, что $k_1 \neq k_2$, то $k_1 - k_2 \neq 0$. Значит, мы можем найти единственное решение для $x$:$x = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}$Подставив это значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем единственное значение $y$. Это означает, что система имеет единственное решение, то есть прямые пересекаются в одной точке. Это противоречит нашему исходному условию, что прямые параллельны (не пересекаются или совпадают).Следовательно, наше предположение ($k_1 \neq k_2$) было неверным. Значит, если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2$.

Достаточность

Докажем, что если угловые коэффициенты двух невертикальных прямых равны, то эти прямые параллельны.Пусть $k_1 = k_2$. Снова рассмотрим систему уравнений для нахождения общих точек:$ \begin{cases} y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2 \end{cases} $Так как $k_1 = k_2$, приравняем правые части:$k_1x + b_1 = k_1x + b_2$$b_1 = b_2$Здесь возможны два случая:

1. Если $b_1 = b_2$, то мы получаем верное тождество, которое не зависит от $x$. Это означает, что уравнения прямых $l_1$ и $l_2$ полностью совпадают ($y = k_1x + b_1$). Следовательно, прямые совпадают. Совпадающие прямые являются частным случаем параллельных прямых.
2. Если $b_1 \neq b_2$, то мы получаем неверное равенство. Это означает, что система уравнений не имеет решений. Следовательно, у прямых нет общих точек, то есть они не пересекаются. По определению, непересекающиеся прямые на плоскости параллельны.

Таким образом, в обоих случаях, если $k_1 = k_2$, прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны.

Ответ: Необходимым и достаточным условием параллельности двух невертикальных прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, является равенство их угловых коэффициентов: $k_1 = k_2$.