Номер 385, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

385. Одна из сторон треугольника на 15 см больше другой, а высота, проведённая к третьей стороне, делит её на отрезки длиной 32 см и 7 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Обозначим сторону, к которой проведена высота, как $c$. Согласно условию, высота делит эту сторону на отрезки длиной 32 см и 7 см. Следовательно, длина стороны $c$ равна:

$c = 32 + 7 = 39$ см.

Высота, обозначим ее $h$, делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника. Две другие стороны, $a$ и $b$, являются гипотенузами этих прямоугольных треугольников, а высота $h$ — их общим катетом.

Применим теорему Пифагора для каждого из этих двух прямоугольных треугольников. Пусть сторона $a$ прилегает к отрезку длиной 7 см, а сторона $b$ — к отрезку длиной 32 см.

$a^2 = h^2 + 7^2$

$b^2 = h^2 + 32^2$

Из этих уравнений видно, что $b^2 > a^2$, а значит $b > a$, поскольку сторона, противолежащая большему катету (32 см), будет длиннее.

По условию задачи, одна из этих сторон на 15 см больше другой. Так как мы установили, что $b > a$, то именно сторона $b$ будет на 15 см больше стороны $a$:

$b = a + 15$

Теперь у нас есть система уравнений. Выразим $h^2$ из обоих уравнений теоремы Пифагора и приравняем полученные выражения:

$h^2 = a^2 - 7^2$

$h^2 = b^2 - 32^2$

Следовательно:

$a^2 - 7^2 = b^2 - 32^2$

Подставим в это равенство $b = a + 15$:

$a^2 - 49 = (a + 15)^2 - 1024$

Раскроем скобки:

$a^2 - 49 = a^2 + 30a + 225 - 1024$

$a^2 - 49 = a^2 + 30a - 799$

Упростим уравнение, вычтя $a^2$ из обеих частей:

$-49 = 30a - 799$

Теперь решим это линейное уравнение:

$30a = 799 - 49$

$30a = 750$

$a = \frac{750}{30} = 25$ см.

Теперь найдем длину стороны $b$:

$b = a + 15 = 25 + 15 = 40$ см.

Итак, мы нашли длины всех трех сторон треугольника: 25 см, 40 см и 39 см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c = 25 + 40 + 39 = 104$ см.

Ответ: 104 см.