Номер 380, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

380. Найдите координаты точки, равноудаленной от осей координат и от точки $A (3; 6)$.

Пусть искомая точка имеет координаты $M(x; y)$.

Расстояние от точки $M(x; y)$ до оси абсцисс (оси Ox) равно $|y|$, а расстояние до оси ординат (оси Oy) равно $|x|$. По условию задачи, точка равноудалена от осей координат, следовательно, должно выполняться равенство: $|x| = |y|$.

Равенство $|x| = |y|$ возможно в двух случаях:
1. $y = x$ (точки, лежащие на биссектрисе первого и третьего координатных углов).
2. $y = -x$ (точки, лежащие на биссектрисе второго и четвертого координатных углов).

Расстояние от точки $M(x; y)$ до точки $A(3; 6)$ находится по формуле расстояния между двумя точками:
$d(M, A) = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 6)^2}$

По условию, это расстояние равно расстоянию от точки $M$ до осей координат. Таким образом, мы получаем уравнение:
$\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 6)^2} = |x|$ (или $|y|$, так как они равны).

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = x^2$

Теперь рассмотрим два случая, которые мы определили ранее.

Случай 1: $y = x$
Подставим $y = x$ в наше уравнение:
$(x - 3)^2 + (x - 6)^2 = x^2$
Раскроем скобки:
$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 12x + 36) = x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - 18x + 45 = x^2$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 18x + 45 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна 18, а их произведение равно 45. Корни легко подбираются: $x_1 = 3$ и $x_2 = 15$.
Найдем соответствующие значения $y$, помня, что $y = x$:
При $x_1 = 3$, $y_1 = 3$. Получаем точку $(3; 3)$.
При $x_2 = 15$, $y_2 = 15$. Получаем точку $(15; 15)$.

Случай 2: $y = -x$
Подставим $y = -x$ в наше уравнение:
$(x - 3)^2 + (-x - 6)^2 = x^2$
Упростим второе слагаемое: $(-x - 6)^2 = (-(x + 6))^2 = (x + 6)^2$.
$(x - 3)^2 + (x + 6)^2 = x^2$
Раскроем скобки:
$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 12x + 36) = x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 6x + 45 = x^2$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$x^2 + 6x + 45 = 0$
Вычислим дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 36 - 180 = -144$
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что в этом случае решений нет.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют только две точки, найденные в первом случае.
Ответ: $(3; 3)$ и $(15; 15)$.